第五章 非线性方程的求根
对于非线性方程
中的是 次多项式时，称为代数方程；否则称为超越方程，如。
对的代数方程和超越方程，没有通用的求根公式，一般用数值分析的方法做近似计算。
5.1 二分法
例子
判别方程 的实根存在区间，要求区间长度不大于 1，并求出最小正跟的近似值，误差限 。
解
由于方程时 3 次代数方程，故其根的个数不超过 3 个。由下表可知根的存在区间为（-2，-1），（0，1），（1，2）。
在区间（0，1）内做二分法迭代，求得最小正跟的近似值为 0.347。
二分法的优点是方法和计算简单，对函数的性质要求不高，只需连续即可。缺点是收敛速度慢，不能求偶数重根。实际应用中常用来判别根的存在区间。
5.2 不动点迭代法
- 不动点与不动点迭代法
设方程 可以转化为等价的形式，从某个初值出发，令
得到序列，当连续，且序列收敛于
时，有
即有 ，所以 是方程 的根。
称上述函数 为迭代函数，称 是它的一个不动点，构造迭代公式的方法称为不动点迭代法。
例子 用不动点迭代方法，求方程 在（1，2）内的近似根。
解 设 ， 在[1,2]上连续，且 ，由零点定理知，方程在（1，2）内至少存在一实根。
采用迭代公式 ，取初始近似值 ，迭代后计算结果为：，不收敛。
采用迭代公式 ，取初始近似值 ，迭代后计算结果为：，收敛。
- 不动点迭代法的收敛性
求解非线性方程根的不动点迭代法常常只具有局部的收敛性，即当初始值 充分接近于根 时，迭代法产生的序列 才可能收敛于根 。
若存在常数 ，使得，则称函数 在 上满足 Lipschitz 条件， L 称为 Lipschitz 常数。
定理
对迭代方程 ，若迭代函数 满足
1） 当 时，有 ；
2） 在 上满足 Lipschitz 条件，且 。
则有：
1） 在 内存在唯一的根 ;
- 对 ，迭代公式 均收敛，且
-
- 迭代法的收敛速度
收敛速度是衡量迭代方法好坏的重要标志，常用收敛的阶来刻画。
记迭代公式的第 次迭代误差为 ，并假设迭代公式是收敛的，若存在实数 使得
则称迭代公式是 p 阶收敛的， C 称为渐近误差常数。
若 ，称迭代公式为线性收敛；若 ，称迭代公式为二阶收敛；若 ，或 ，称迭代公式为超线性收敛。
收敛阶为 p 的意义是迭代结果的误差与迭代前误差的 p 次方是同阶无穷小；高阶方法比低阶方法收敛快很多，同阶方法中渐近误差常数小的收敛较快。
对迭代公式 ，若 在根 的邻域内连续，且
则迭代公式在根 的领域内至少是 p 阶收敛的（p 是正整数）；若还有 ，则迭代公式在根 的邻域内是 p 阶收敛的。
5.3 Newton 迭代法
- Newton 迭代法的构造思想
将函数 在近似值 处进行一阶泰勒展开，略去高阶无穷小项，故有迭代公式
Newton 法的几何意义是用点 处的切线与 轴交点处的横坐标作为近似值 。
- Newton 法的收敛速度
Newton 法的迭代函数 ，由 ，当 时， Newton 法至少是二阶收敛的。
例子
用 Newton 法求 在 0.7 附近的根，误差限 。
解
计算结果如下表：
- 简化 Newton 法
迭代公式为： ，其中 C 为一常数，常取 。
简化 Newton 法只有线性收敛性。
例子
用简化 Newton 法求 在 0.7 附近的根，误差限 。
解
计算结果如下表：
- Newton 下山法
迭代公式
其中 ，且满足下山条件：
称 为下山因子。下山因子的选取常用逐步搜索法，先取 ，判断下山条件是否成立，若不成立则将 缩小一半，直到下山条件成立为止。
- 割线法
Newton 迭代法需要求函数的导数，当求导数有困难时，用差商近似代替微商有迭代公式：
该方法具有超线性收敛性。收敛阶为黄金分割数 0.618。
例子
用割线法求 在 0.7 附近的根，取 ，误差限 。
解
计算结果如下表：
5.4 Aitken 加速方法与重根迭代法
Aitken 加速方法
重根的迭代
5.5 非线性方程组求根
设有方程组
只要其中有一个是非线性函数，就称为是非线性方程组。
- 不动点迭代法
例子
求解非线性方程组
解
迭代公式为：
取初值 ，迭代求得
- Newton 迭代法