“微积分”的“连续”之路艰辛而坎坷，创造了近代三百年的辉煌

人类在近代三百年所创造的科技成果的总量，比之前数万年所创造的成果还要多，其中最为深层次的动力，就是“微积分”的诞生。而“微积分”关于“连续”问题的讨论，经历了数千年，最早可以追溯到遥远的“芝诺悖论”。

这是一场旷日持久的关于“连续”问题的讨论，也是“微积分”发展的最早的思想萌芽。“积分”的思想早在公元前7世纪就已经产生，被尊称为“科学之祖”的古希腊科学家泰勒斯在解决对“球”的“面积”、“体积”与“长度”等问题的研究中，就含有“微积分”思想。在我国古代的三国时期，刘徽所发明的“割圆术”，就已经有了“积分学”的思想萌芽，真正让“微积分”的思想萌芽茁壮成长，最终走上“严格化”道路。

“芝诺悖论”的讨论历经了二千多年，直到今天随着“量子理论”的出现，才算得到了较为满意地解决。——从宏观意义上来看，这个世界是“连续”的，但是从微观意义上来看，这个世界又是“离散”的。“芝诺悖论”的出现，第一次给“数学的严谨性”提出了重大挑战，成为引发“第一次数学危机”的重要诱因。

公元前400年，随着古希帕索斯发现了第一个无理数“根号2”之后，“第一次数学危机”彻底爆发了，各种新的数学思潮经过近半个世纪的激烈碰撞，彻底动摇了以“毕达哥拉斯学派”为代表的“万物皆数（有理数）”的理论，将数系扩充到了“实数系”。

可惜的是，由于“实数系”是基于“几何”的研究而发现“无数理”之后所建立，人们普遍认为“几何”才是数学的基础。在之后长达两千多年的时间里，人们几乎放弃了对“实数系”本身的研究，转而将目光都投向了对“几何学”的研究，这也导致了“几何学”的快速发展，欧几里德总结了之前人类所有的“几何学”成果，写下了史诗集巨著《几何原本》。

《几何原本》中的“证明方法”广泛使用了“穷竭法”，这一方法就是“微积分”思想方法的“雏形”。

17世纪下半叶，历史上所遗留的难题堆积得越来越多，极其需要新的数学工具来解决这些难题。比如求“即时速度”的问题、求“曲线”的“切线”的问题、求“函数”的“最大值”和“最小值”的问题以及求“曲线”的“长”、“曲线”围成的“面积”、“曲面”围成的“体积”、物体的“重心”以及当一个“体积相当大的物体”作用于“另一物体”上的“引力”。在这种情况下，牛顿和莱布尼茨分别从“运动”和“几何”的角度分别独立地发明了伟大的“微积分”。

“微积分”的创立，立即在科学技术上获得应用，仿佛在一夜之间解决了堆积上千年的难题，人们急于利用新生的“微积分”在未知的领域开疆拓土，却忽略了“微积分”本身清晰的、严谨的逻辑基础的建设，以致于人们在使用的过程中渐渐地发现了“微积分”越来越多的“悖论”和“谬论”。

其中最核心的问题就是“无穷小量”是不是“零”的问题，人们有时将“无穷小量”看作“不为零”的“有限量”而从等式两端“消去”，有时却又将“无穷小量”看为“零”而忽略不计。这一矛盾最终引发了一些权威人士的批判和反对，新生的“微积分”大厦面临着崩溃，“第二次数学危机”爆发了。

“第二次数学危机”的爆发，其实就是“第一次数学危机”所没有彻底解决的“芝诺悖论”中所包含的“连续”问题的延续。

在“飞矢不动”悖论中，“时间”被划成了无数个“细小的瞬间”，但是这些“细小的瞬间”既不能简说地说是“零”，也不能简单地说它是一个极小的定值”，由此可见，“芝诺悖论”所面临的问题实际上就是导致“微积分”陷入“第二次数学危机”的同一个问题--“无穷小量”是不是“零”的问题。

为了解决”无穷小量“带来的严重挑战，数学家开始对“微积分”的逻辑基础进行“严格化”建设。

1821年，柯西抓住“极限”的概念，指出“无穷小量”不是“定量”而是“变量”，准确地说，“无穷小量”是以“零”为“极限”的“变量”。随后，经过一大批数学家的努力建立起了完整的“实数理论”，在“实数理论”的基础上，建立起“极限论”的“基本定理”，有了“实数理论”的“严格基础”，严格化的“微积分”的逻辑基础变得更加完善了，逐渐扩充为我们今天所见到的“数学分析”，至此，人们讨论了两千多年的“芝诺悖论”中关于“连续”问题的讨论，暂时告一段落了。