CF1763D Valid Bitonic Permutations

CF1763D Valid Bitonic Permutations

题目大意

拱形排列，指由$1,2,\dots ,n$组成的一个排列，从数值来看，必须是先上升后下降的。

给你五个数$n,i,j,x,y$，求有多少个排列，满足第$i$个数为$x$，第$j$个数为$y$。输出答案模$10_7^9$。

有多组数据。

$1\le n\le 100$，$1\le t\le 100$

题解

首先，我们要使$i<j,x<y$。方法如下：

• 如果$i>j$，则交换$i,j$，交换$x,y$
• 上面的操作进行后，如果$x>y$，则$i=n-i+1$，$j=n-j+1$，再交换$i,j$，交换$x,y$，相当于将序列前后翻转，这样求出的答案与原来的是等价的

令$k$表示数字$n$在序列中的位置，那么接下来，我们可以枚举$k$。

第一种情况：$k$在$i$和$j$中间

如果$k$在$i$和$j$之间，则序列大致如下

首先看第一段，$y+1$到$n-1$之间的数可以放在这一段中，要放$j-k-1$个数，那么有$C_{n-y+1}^{j-k-1}$种放法。

然后放第二段，这里需要满足大于$y$的数都要放在第二段，否则这就不是拱形序列。这一段必须在$n$之前且是单调递增的一段。$[i+1,j]$这一段放了$y$到$n$之间的所有数，我们还要放大于$x$的数，那么还剩下的数字都在$x$和$y$之间，也就是还有$y-x-1$个数。$[i+1,j]$这一段要放$j-i$个数，已经放了$n-y+1$个，还要放$j-i-(n-y+1)$个数，那么第二段的放法有$C_{y-x-1}^{j-i-(n-y+1)}$种。

对于第三段，$1$到$x-1$之间的数可以放在这一段中，要放$i-1$个数，那么放法有$C_{x-1}^{i-1}$种。

剩下的都放第四段。

总共的放法数量为

$\sum _{k=i+1}^{j-1}{C}_{n-y+1}^{j-k-1}\times C_{y-x-1}^{j-i-(n-y+1)}\times C_{x-1}^{i-1}$

第二种情况：$k$在$j$右边

如果$k$在$j$右边，则序列大致如下

首先看第一段，可以放$n-y-1$个数，要放$k-j-1$个数，放法有$C_{n-y-1}^{k-j-1}$种

然后看第二段，可以放$y-x-1$个数，要放$j-i-1$个数，放法有$C_{y-x-1}^{j-i-1}$种

再看第三段，可以放$x-1$个数，要放$i-1$个数，放法有$C_{x-1}^{i-1}$种

剩下的都放第四段。

总共的放法数量为

$\sum _{k=j+1}^{n-1}{C}_{n-y+1}^{k-j-1}\times C_{y-x-1}^{j-i-1}\times C_{x-1}^{i-1}$

上面两个式子之和就是答案。

一些特判

如果$y==n$，也就是说$k$的位置已经定了，那么就不能用上面的方法来计算答案了。

如果$j==n$，则不可能构成拱形序列，方案数为$0$。

否则在$[i+1,j-1]$之间有$y-x-1$个数可以放，要放$j-i-1$个数；在$[1,i-1]$之间有$x-1$个数可以放， 要放$i-1$个数。那么答案为$C_{y-x-1}^{j-i-1}\times C_{x-1}^{i-1}$。

在求$C_n^m$时，如果$n<0$或$m<0$或$n<m$，则返回$0$。

时间复杂度为$O(t\times n)$。

code

#include
using namespace std;
const int N=1000;
long long ans,jc[1005],ny[1005];
long long mod=1000000007;
long long mi(long long t,long long v){
	if(!v) return 1;
	long long re=mi(t,v/2);
	re=re*re%mod;
	if(v&1) re=re*t%mod;
	return re;
}
long long C(int x,int y){
	if(x<0||y<0) return 0;
	if(x<y) return 0;
	return jc[x]*ny[y]%mod*ny[x-y]%mod;
}
void init(){
	jc[0]=1;
	for(int i=1;i<=N;i++) jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
	ny[N]=mi(jc[N],mod-2);
	for(int i=N-1;i>=0;i--) ny[i]=ny[i+1]*(i+1)%mod;
}
int main()
{
	int T,n,i,j,x,y;
	init();
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d%d%d%d%d",&n,&i,&j,&x,&y);
		if(i>j){
			swap(i,j);swap(x,y);
		}
		if(x>y){
			i=n-i+1;j=n-j+1;
			swap(i,j);swap(x,y);
		}
		ans=0;
		if(y==n){
			ans=C(y-x-1,j-i-1)*C(x-1,i-1)%mod;
			if(j==n) ans=0;
			printf("%lld\n",ans);
			continue;
		}
		for(int k=i+1;k<=j-1;k++){
			ans=(ans+C(n-y-1,j-k-1)*C(y-x-1,j-i-(n-y+1))%mod*C(x-1,i-1)%mod)%mod;
		}
		for(int k=j+1;k<=n-1;k++){
			ans=(ans+C(n-y-1,k-j-1)*C(y-x-1,j-i-1)%mod*C(x-1,i-1)%mod)%mod;
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}