六、PageRank算法与代码实战【CS224W】（Datawhale组队学习）

开源内容：https://github.com/TommyZihao/zihao_course/tree/main/CS224W

子豪兄B 站视频：https://space.bilibili.com/1900783/channel/collectiondetail?sid=915098

斯坦福官方课程主页：https://web.stanford.edu/class/cs224w

PageRank冷知识

• Google最早的搜索引擎算法。给每个网页重要度打分，高分靠前。Page既有“网页”的意思，也有“拉里·佩奇”的意思
• 两位作者当年只有24岁，是斯坦福大学的phD
• 谷歌最早的办公场地是车库里的乒乓球桌
• 1997年之前的搜索引擎︰网页收录少、相关率20%、排序效果差
• 1997年之后，斯坦福大学Google搜索结果，相关率80%
• 搜索引擎成为互联网第一个Killer App，开启互联网时代PageRank申请专利后，谷歌一举超过雅虎、微软
• 拉里·佩奇凭借PageRank，在30岁当选美国工程院院士
• 斯坦福大学拥有超过1%的Google股票。收益超过10亿美元

PageRank简介

PageRank是1997年谷歌第一代搜索引擎的底层算法。大幅提高了搜索结果的相关率和质量，成为互联网第一个爆款应用，造就了传奇的谷歌公司。

应用场景

PageRank把互联网表示为由网页节点和引用链接构成的有向图，通过链接结构，计算网页节点重要度。来自重要网页节点的引用链接，权重更高。

理解PageRank的五种角度

我们可以通过线性方程组、矩阵乘法、特征值和特征向量、随机游走、马尔科夫链这五种角度，理解并求解PageRank值。

线性方程组
重要节点引出的稀少链接，权重更高


矩阵乘法
迭代左乘M矩阵

特征值和特征向量
对于Column Stochastic矩阵,由Perreon-Frobenius定理︰最大的特征值为1，存在唯一的主特征向量（特征值1对应的特征向量)，向量所有元素求和为1

随机游走
浏览者顺着连接随机游走，一个网页的访问次数比较多则说明这个网页比较重要

马尔科夫链
每个节点表示一种状态，节点之间的连接表示状态的转移，根据状态转移矩阵，可以计算下一个时刻的状态转移概率

求解PageRank

• 迭代求解线性方程组（$O(n^3)$，不推荐)
• 迭代左乘M矩阵（推荐，幂迭代)
• 矩阵的特征向量($O(n^3)$，不推荐)
• 随机游走（需模拟很多游走，不推荐)
• 马尔科夫链（和求解矩阵特征向量等价，不推荐)

迭代左乘M矩阵

PageRank收敛性分析

Ergodic定理：如果满足irreducible（非彼此孤立）和aperiodic（非周期性质震荡）的马尔科夫链，则一定满足：

• 存在唯一的解$\pi$
• 能从${\pi }_0$收敛到$\pi$
  
  

PageRank存在的问题

仅指向自己的节点（刷抖音刷的停不下来）

没有出连接（看到这个网页之后全部退网了）

违背了每一列求和为1的假设

PageRank解决方案

PageRank其它应用

• 寻找与指定节点最相似的节点（Proximity on graphs）：同一个用户访问过的节点更可能是相似的（基本假设）

• PageRank变种：：将“随机传送到任一节点”优化为“随机传送到指定的一些节点”或“随机传送到指定的一个节点”，用访问次数来反映节点的亲疏远近。

  • Topic-Specific PageRank或Personalized PageRank：随机传送到指定的一些节点
  • Random Walk with Restarts：随机传送到指定的一个节点

代码实战

import networkx as nx # 图数据挖掘
import numpy as np # 数据分析
import random # 随机数
import pandas as pd

# 数据可视化
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib as mpl
%matplotlib inline
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']  # 用来正常显示中文标签  
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False  # 用来正常显示负号

构建图并进行可视化

OpenKG-四大名著人物关系知识图谱和OWL本体：http://www.openkg.cn/dataset/ch4masterpieces

df = pd.read_csv('data/三国演义/triples.csv')
df

edges = [edge for edge in zip(df['head'], df['tail'])]

G = nx.DiGraph()
G.add_edges_from(edges)

# 可视化
plt.figure(figsize=(15,14))
pos = nx.spring_layout(G, iterations=3, seed=5)
nx.draw(G, pos, with_labels=True)
plt.show()

对PageRank得分进行排名

pagerank = nx.pagerank(G,                     # NetworkX graph 有向图，如果是无向图则自动转为双向有向图
                       alpha=0.85,            # Damping Factor
                       personalization=None,  # 是否开启Personalized PageRank，随机传送至指定节点集合的概率更高或更低
                       max_iter=100,          # 最大迭代次数
                       tol=1e-06,             # 判定收敛的误差
                       nstart=None,           # 每个节点初始PageRank值      
                       dangling=None,         # Dead End死胡同节点
                      )

sorted(pagerank.items(),key=lambda x : x[1], reverse=True)

用节点尺寸可视化PageRank值

# 节点尺寸
node_sizes = (np.array(list(pagerank.values())) * 8000).astype(int)
# 节点颜色
M = G.number_of_edges()
edge_colors = range(2, M + 2)
plt.figure(figsize=(15,14))

# 绘制节点
nodes = nx.draw_networkx_nodes(G, pos, node_size=node_sizes, node_color=node_sizes)

# 绘制连接
edges = nx.draw_networkx_edges(
    G,
    pos,
    node_size=node_sizes,   # 节点尺寸
    arrowstyle="->",        # 箭头样式
    arrowsize=20,           # 箭头尺寸
    edge_color=edge_colors, # 连接颜色
    edge_cmap=plt.cm.plasma,# 连接配色方案，可选：plt.cm.Blues
    width=4                 # 连接线宽
)

# 设置每个连接的透明度
edge_alphas = [(5 + i) / (M + 4) for i in range(M)]
for i in range(M):
    edges[i].set_alpha(edge_alphas[i])

# # 图例
# pc = mpl.collections.PatchCollection(edges, cmap=cmap)
# pc.set_array(edge_colors)
# plt.colorbar(pc)

ax = plt.gca()
ax.set_axis_off()
plt.show()

总结

    PageRank是1997年谷歌第一代搜索引擎的底层算法。大幅提高了搜索结果的相关率和质量，成为互联网第一个爆款应用，造就了传奇的谷歌公司。PageRank把互联网表示为由网页节点和引用链接构成的有向图，通过链接结构，计算网页节点重要度。来自重要网页节点的引用链接，权重更高。
    我们可以通过线性方程组、矩阵乘法、特征值和特征向量、随机游走、马尔科夫链，五种角度，理解并求解PageRank值。之后对PageRank的收敛性分析并针对特殊节点的进行改进，最后扩展PageRank在推荐系统中计算节点相似度排序的升级变种。
    在代码实战中，使用Networkx计算三国演义人物有向图的节点重要度。