解线性方程组迭代法之Jacobi迭代法及其算法实现

在上一篇博客里面,笔者介绍了解线性方程组的LU分解法,这篇来介绍一个新的方法,迭代法.解线性方程组的迭代法有多种,其中就有Jacobi迭代法,它的原理是什么呢?有如下的线性方程组Ax=b,可将其变形为=>Mx=Nx+b=>x=M^-1Nx+M^-1b,设B=M^-1N=M^-1(M-A)=E-M^-1A,f=M^-1b,即可得到迭代式:X^(k+1)=Bx^(k)+f,这里我们只需要设置一个初始的x向量,依次将前一步的x^k代入到迭代式中,就可以得到x^(k+1)的结果
关于迭代法的两个注意事项:
1.迭代法相比于其他方法在计算大型稀疏矩阵矩阵方面,是有优势的,但不意味着只能解大型稀疏矩阵
2.并非所有的线性方程组都可以用迭代法进行求解,这是因为不是所有的迭代方程都是收敛的,可能会出现的情况就是,在迭代的过程中,会出现迭代解偏离精确解的情况,并且随着迭代的次数增多,会越偏越大
3.遇到不收敛的情况,就不能用迭代法求解,可以选用前面的Guass消元法或者LU分解法
接下来看代码实现~
老规矩,初始化

double** init_Matrix(int r, int c)
{
	double** p = new double* [r];
	int d = c + 1;
	for (int i = 0; i < r; i++)
	{
		p[i] = new double[d];
		memset(p[i], 0, sizeof(double) * d);
	}
	cout << "请输入线性方程组对应的增广矩阵:" << endl;
	for (int i = 0; i < r; i++)
	{
		for (int j = 0; j < d; j++)
		{
			cin >> p[i][j];
		}
	}
	return p;
}

检测是否达到精度要求

bool isRight(double**p,int r,double*x)
{
	double sum1 = 0, flag = 0,sum2=0;
	for (int i = 0; i < r; i++)
	{
		sum1 = 0,flag=0;
		for (int j = 0; j < r; j++)
		{
			sum1 += x[j] * p[i][j];
		}
		flag= fabs(p[i][r] - sum1);
		if (flag>one_Precision)//解代入单个方程式的误差过大
		{
			return false;
		}
		else
		{
			sum2 += flag;
		}
	}
	if (sum2>total_Precision)//整体误差过大
	{
		return false;
	}
	return true;
}

这一步就是检测迭代得到的解是否达到了我们所要求的精度,也就是终止条件,这里我设置的检测的标准有两个:一个是将解代入单个方程,计算偏差值,若是大于设定的偏差值,就继续迭代,否则就将其偏差值相加,再次进行判断,若未达到设定的偏差值,就说明已经得到了满足精度要求的解,否则,继续判断,函数里面的精度可以自行调整
开始进行迭代

void Iteration(double**p,int r,double*x,double*xx) 
{
	int k = 0;//最大迭代次数
	double sum = 0;
	while (true)
	{
		for (int i = 0; i < r; i++)
		{
			sum = 0;
			for (int j=0;j<r;j++)
			{
				if (j==i)
				{
					continue;
				}
				else
				{
					sum -= p[i][j]* xx[j];
				}
			}
			x[i] = (p[i][r] + sum) / p[i][i];
		}
		for (int i = 0; i < r; i++)
		{
			xx[i] = x[i];
		}
		printf("第%d次迭代结果为:",++k);
		for (int i = 0; i < r; i++)
		{
			printf("%f\t", x[i]);
		}
		cout << endl;
		if (k>=MAX_time)
		{
			cout << "超出迭代次数上限!停止迭代" << endl;
			return;
		}
		if (isRight(p, r, x))//精度符合要求
		{
			cout << "精度符合要求,停止迭代,共迭代:" << k << "次" << endl;
			return;
		}
	}
}

每次迭代打印其解向量的值,然后进行精度判断,若不符合要求,则继续迭代,同时为了防止因出现不收敛的情况而导致死循环的情况,设置了一个次数为300的最大迭代次数
综合运用

void Jacobi_main() 
{
	int i = 0, j = 0;
	cout << "请输入线性方程组对应系数矩阵的行和列:" << endl;
	cin >> i >> j;
	double** p = init_Matrix(i, j);
	double* X = new double[i];//第n+1次跌代
	double* x = new double[i];//第n次迭代
	memset(x, 0, sizeof(double) * i);
	memset(X, 0, sizeof(double) * i);
	Iteration(p, i, X,x);
	for (int i = 0; i < j; i++)
	{
		delete[]p[i];
	}
	delete []p;
	delete []x;
}

这里动态分配两个数组,一个存储第n+1次迭代的解,一个存储第n次迭代的解,同时在计算结束后,记得释放动态分配的内存,防止内存泄漏
完整代码及测试数据

#include
#include
#include
#define one_Precision   1e-5//单个方程误差
#define total_Precision 3e-5//整体方程误差
#define MAX_time  1000//最大迭代次数
using namespace std;
/*
测试数据
3 3
10 -1  0 9
-1 10 -2 7
0  -2 10 6


3 3
20 -1 2 74
2   8 1 -4
1  -2 4 56

3 3
8 -3  2  20
4 11 -1  33
2  1  4  12

5 5
28 -3   0 0  0  10
-3 38 -10 0 -5  0
0 -10 25 -15 0  0
0  0 -15  45 0  0
0 -5   0  0  30 0
*/
double** init_Matrix(int r, int c)
{
	double** p = new double* [r];
	int d = c + 1;
	for (int i = 0; i < r; i++)
	{
		p[i] = new double[d];
		memset(p[i], 0, sizeof(double) * d);
	}
	cout << "请输入线性方程组对应的增广矩阵:" << endl;
	for (int i = 0; i < r; i++)
	{
		for (int j = 0; j < d; j++)
		{
			cin >> p[i][j];
		}
	}
	return p;
}
//检测是否为精确解 设置合格精度为10的-3方
bool isRight(double**p,int r,double*x)
{
	double sum1 = 0, flag = 0,sum2=0;
	for (int i = 0; i < r; i++)
	{
		sum1 = 0,flag=0;
		for (int j = 0; j < r; j++)
		{
			sum1 += x[j] * p[i][j];
		}
		flag= fabs(p[i][r] - sum1);
		if (flag> one_Precision)//解代入单个方程式的误差过大
		{
			return false;
		}
		else
		{
			sum2 += flag;
		}
	}
	if (sum2> total_Precision)//整体误差过大
	{
		return false;
	}
	return true;
}
//用一维数组x存储每次迭代的解向量
void Iteration(double**p,int r,double*x,double*xx) 
{
	int k = 0;//最大迭代次数
	double sum = 0;
	while (true)
	{
		for (int i = 0; i < r; i++)
		{
			sum = 0;
			for (int j=0;j<r;j++)
			{
				if (j==i)
				{
					continue;
				}
				else
				{
					sum -= p[i][j]* xx[j];
				}
			}
			x[i] = (p[i][r] + sum) / p[i][i];
		}
		for (int i = 0; i < r; i++)
		{
			xx[i] = x[i];
		}
		printf("第%d次迭代结果为:",++k);
		for (int i = 0; i < r; i++)
		{
			printf("%f\t", x[i]);
		}
		cout << endl;
		if (k>= MAX_time)
		{
			cout << "超出迭代次数上限!停止迭代" << endl;
			return;
		}
		if (isRight(p, r, x))//精度符合要求
		{
			cout << "精度符合要求,停止迭代,共迭代:" << k << "次" << endl;
			return;
		}
	}
}
void Jacobi_main() 
{
	int i = 0, j = 0;
	cout << "请输入线性方程组对应系数矩阵的行和列:" << endl;
	cin >> i >> j;
	double** p = init_Matrix(i, j);
	double* X = new double[i];//第n+1次跌代
	double* x = new double[i];//第n次迭代
	memset(x, 0, sizeof(double) * i);
	memset(X, 0, sizeof(double) * i);
	Iteration(p, i, X,x);
	for (int i = 0; i < j; i++)
	{
		delete[]p[i];
	}
	delete []p;
	delete []x;
}
int main(void)
{
	Jacobi_main();
	system("pause");
	return 0;
}