行列式（一）- 行列式介绍

矩阵是可逆的，当且仅当它的行列式非零。

考虑。的第二行和第三行都乘以，然后再分别减去第一行适当的倍数，则行等价于下面两个矩阵：
～
由于可逆，故矩阵中(2,2)元素和(3,2)元素不同时为0.不妨假设(2,2)元素不等于零（否则，可以做一个行对换边变成这种情形）。在进行行化简：
～
其中，。
由于可逆，故一定不等于零。我们称这个(1)式中的为矩阵的行列式。

矩阵的行列式:。矩阵的行列式:。利用行列式来重写(1)中的行列式。
$\begin{aligned}\Delta &= (a_1\!_1a_2\!_2a_3\!_3 - a_1\!_1a_2\!_3a_3\!_2) - (a_1\!_2a_2\!_1a_3\!_3 - a_1\!_2a_2\!_3a_3\!_1) + (a_1\!_3a_2\!_1a_3\!_2- a_1\!_3a_2\!_2a_3\!_1) \\ &= a_1\!_1 \times det \begin{bmatrix} a_2\!_2 & a_2\!_3 \\ a_3\!_2 & a_3\!_3\end{bmatrix} - a_1\!_2 \times det \begin{bmatrix} a_2\!_1 & a_2\!_3 \\ a_3\!_1 & a_3\!_3\end{bmatrix} + a_1\!_3 \times det \begin{bmatrix} a_2\!_1 & a_2\!_2 \\ a_3\!_1 & a_3\!_3\end{bmatrix}\end{aligned}$
为了简单，可写成，其中由中删除第一行和三列中之一列而得到。

当矩阵的行列式是形如的个项的和，其中加号和减号交替出现，元素来自于第一行，用符号表示为：
$\begin{aligned} det \;\boldsymbol{A} &= a_1\!_1 \times det \;\boldsymbol{A_1\!_1} - a_1\!_2 \times det \;\boldsymbol{A_1\!_2} + \cdots + (-1)^{1+n}a_1\!_n \times \boldsymbol{A_1\!_n } \\ &=\sum_{j=1}^{n}{(-1)^{1+j}det \;\boldsymbol{A_1\!_j}} \end{aligned}$

计算行列式，其中
解：
$\begin{aligned} \Delta &= 1 \times det \begin{bmatrix}4 & -1 \\ -2 & 0\end{bmatrix} - 5 \times det \begin{bmatrix}2 & -1 \\ 0 & 0\end{bmatrix} + 0 \times det \begin{bmatrix}2 & 4 \\ 0 & -2\end{bmatrix} \\ &= 1(0 - 2) - 5(0-0) + 0(-4-0) = -2\end{aligned}$
方阵的行列式的另一个常用记号是利用一对竖线代替括号。这样，上式可写为：

给定,的(i,j)余因子表示为：，则。这个公式称为按的第一行的余因子展开式。
定理 1 矩阵的的行列式可按任意行或列的余因子展开式来计算，按第行展开的余因子展开式为：；按第列的余因子展开式为：。(i,j)余因子中加号或减号取决于在矩阵中的位置，而于本身的符号无关。
定理 2 若为三角形，则等于的主对角线上元素的乘积。

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