MIT离散数学二元关系笔记

什么是关系

关系是事物之间相互作用和影响的状态。

如何表示等价关系

1、有序对表示，R={：a与b的关系}

用一个有序对表示事物之间的一种关系，有序对的集合组成事物之间的关系集合，a与b取自事物集合，所以集合A上的关系R=AXA，表示A中的事物和A中的事物的关系，集合A和B的关系R=AXB，表示A中的事物和B中的事物的关系

例如：

事物A的集合是{小洪，小黄}
如果小红喜欢自己，小黄也喜欢自己。
小洪用1表示，小黄用2表示
A={1,2}
R={<1,1>,<2,2>};

事物B的集合是{小绿，小蓝}
如果小绿不喜欢自己，小蓝不喜欢自己，
A={1,2}
R={};

理解有序对

关系就类似一个函数
关系的定义域是有序对的第一个元素，有向图的箭头前端
关系的值域是有序对的第二个元素，有向图的箭头指向
若属于R，那么使用关系符号R在a上的结果是b，能和a之间满足R关系的是b

2、有向图表示G=（V,E）V是由事物组成的顶点，E是连接事物的边集

用有向图表示事物之间的关系。箭头的前端是有序对的第一个元素，箭头指向的方向是有序对的第二个元素。

关系的性质

自反性：任意x属于A，能和x满足R的是x，xRx，all x属于A

某种关系对于集合中的每个事物自身成立

比如“喜欢”是一种关系R

事物A的集合是{小洪，小黄}
如果小红喜欢自己，小黄也喜欢自己。那么就是说“喜欢”这种关系，在事物a这个集合里是有自反性的

事物B的集合是{小绿，小蓝}
如果小绿不喜欢自己，小蓝不喜欢自己，那么就是说“喜欢”这种关系，在事物b这个集合里是非自反的，如果小绿喜欢自己，小蓝不喜欢自己，这个关系在事物b里也是非自反的

自反性是关系在某个事物集合中的一个性质，事物集合不同，自反性也不同

看有向图的话，满足某个关系的自反性的集合中，每个顶点的头上都有一个圈圈连成箭头

对称性：任意x，y属于A，若能和x满足R关系的是y，那么能和y满足R关系的也是x，xRy=>yRx,x属于A，y属于A

非对称性:

传递性

等价关系

理解

一个关系是发生在事物间的
当某个事物集合上的一个关系满足自反性、对称性、传递性，那么在这个事物集合中，该关系称为等价关系

若事物集合A是所有的整数，A={…-3，-2，-1，0,1,2,3,4,5,6,7…}
一个关系是R={:x===y（Mod5）}
（两个等于号表示等于，三个等于号是全等于，全等于指两个变量除了内容相等，变量的类型也相等，如var a="123"和var b=123,a等于b, 但a全等于b是错误的，a是字符串，b是整形，虽然都是内容都是123，但变量类型不同
x等于对y取5的模，也就是y与x的差等于5的倍数，y减去5的倍数等于x）
即在集合A的整数中有一个x，有一个y，x与y的差值是5的倍数，所有满足这个条件的有序对组成关系R={,,…}
首先判断R在A上是否有自反性，即是否满足x全等于x(mod5)，而一个数减去自身，差值为0,0是5的倍数，所以R在A上有自反性
然后判断R在A上的传递性和对称性，因为x与y的差值始终是5的倍数，所以对称性和传递性都满足
所以R在A上有等价关系

作业题

设A={1，2，3，4}，在AxA上定义的二元关系R为任意,属于AxA,R等价于u+y=x+v,
1） 证明R是上的等价关系
2） 确定由R引起的对A的划分

（1）
（2）
一个等价类是集合的一个划分，满足等价关系的是一个等价类
例题：等价关系是：u+y=x+v时，R，先写出AXA :

等价类：自反性，对称性，传递性

事物集合A是所有的整数，A={…-3，-2，-1，0,1,2,3,4,5,6,7…}
一个等价关系是R={:x===y（Mod5）}
[7]={…-3,2,7,12,17…}，R={…<7,-3>,<7,2>,<7,7>…}

满足等价关系的是一个等价类，等价类把原有的集合中的某个关系特征抽象处理
7的等价类是-3,2,7,12…，[7]=[12]=[2]…(因为差值都是5，等价关系有自反性)
一个元素x在事物集合A中的等价类是在A中所有的和这个元素x满足关系R的集合，即[x]={y:xRy}.
一个元素x在事物集合A中的等价类也是以x为首的有序对的第二个元素的集合，是以x为顶点的有向图指向的元素的集合

偏序：自反性，不对称性，传递性

关系在集合A上有自反性，不对称性，传递性，这称为偏序，用小于等于号表示，即事物之间的关系不可以逆向

偏序如何表示

https://blog.csdn.net/qq_47867028/article/details/117428902