(三) 回归树与集成

1. 回归树（CART）

回归树，也称分类与回归树（classification and regression tree），是二叉树，即左分支取值为“是”，右分支取值为“否”。

CART的决策流程与传统的决策树相同，但不同点在于，每个叶节点会产生一个预测分数。

以下图为例，目的是：判断每个家庭成员是否喜欢电子游戏。
可输入的一系列特征，包括：年龄、性别、电脑使用情况等。

以年龄特征为例，按照「年龄<20岁」的条件，可将5人划分为树的两个叶节点，并分别赋予两个叶节点分数。

2. 回归树集成（Regression Tree Ensemble）

通常来说，仅用一棵树来进行划分，往往过于简单，并不有效。因此有树的集成，即，综合多棵树的结果作为最终的预测结果。

如下图，以集成两颗树为例，对于单个样本（男生），可以通过累加其两颗树叶节点的评分，得到最终的评分。

关于树的集成

较为常用的树集成主要有两种：Bagging、Boosting。

• Bagging集成：树之间是弱依赖，彼此并行，目的是降低方差，典型的例子为RF（Random Forest, 随机森林）。
• Boosting集成：树之间是强依赖，彼此串行（即，后一棵树依赖前一棵树的结果），目的是降低偏差，典型的例子为GBDT（Gradient Boosting Decison Tree，梯度提升树）。

3. 模型及参数

3.1 模型

假设共有颗树，那么有公式：

其中，，为第个样本在第颗树的评分。，为包含颗回归树的函数空间。，为第个样本的预测值，即该样本在颗树评分的累加值。

3.1.2 参数

为了得到样本的预测值，我们需要得到树的结构和每个叶节点的评分。
从上述计算公式可以看到，该条件可以进一步简化为，已知每一颗回归树的函数。

因此，参数为单颗回归树函数构成的函数集合，即，。同样地，参数可以通过构造目标函数，结合已有训练样本求解。

4. 利用单一变量学习一颗树

方法：定义一个目标函数（损失函数+正则化项），然后优化它。

假设，需要预测某人在某一时间t，是否喜欢浪漫的音乐。在只有单一变量时间t输入的情况下，考虑学习一颗回归树。

那么，回归树可根据时间来切分构造。该过程等价于，学习分段的阶跃函数。相当于在不同的时间切点，去学习对浪漫音乐的喜爱程度。（如下图所示）

其中，目标函数包含损失函数和正则化项两部分。前者为训练误差，表示函数对每个数据点的拟合程度；后者为正则化项，表示函数的复杂度。

在上述问题中，函数的复杂度可以通过时间切点的个数，以及切分后每一部分高度（音乐喜爱程度）的L2范数来进行定义。

那么，如何较为直观地理解，欠拟合与过拟合呢？

如下图所示，左上为用户对某主题喜爱程度随时间变化的原始数据。
右上为过拟合示意图，当时间切点过多时，模型复杂度变高。
左下为欠拟合示意图，当切点位置不够准确时，训练误差变高。
右下为较理想的情况，很好地平衡了模型复杂度与训练误差之间的关系。

欠拟合与过拟合

5. 集成树的目标函数

假设共有颗树，则有公式：

其中，，为第个样本在第颗树的评分。，为包含颗回归树的函数空间。，为第个样本的预测值，即该样本在颗树评分的累加值。

因此，有目标函数为：

其中，表示训练误差，表示模型复杂度。

此时，定义的方法包括：树节点数目、树深度、叶节点权重的L2范数等。

6. 目标函数 vs 启发式

对于决策树来说，通常是启发式的。大多数启发式能很好地映射到目标函数：
信息增益 --> 训练误差
剪枝 --> 按节点数目定义的正则化项
最大深度 --> 限制函数空间
叶子值的平滑 --> 叶子权重的L2正则化

Introduction to Boosted Trees: Tianqi Chen