数论 | 勾股数组与单位圆

在前面，我们描述了的所有整数解a、b、c。如果用除这个方程，则得
所以，有理数对是方程的解。

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我们都知道表示圆心在(0,0)、半径为1的圆C，这个圆也称为单位圆。

下面，我们从几何角度来求圆C上x坐标与y坐标都是有理数的点。

注意到圆上有四个明显的具有有理数坐标的点，我们从中选出一个点(-1,0)，取任意有理数m，过该点做一条斜率为m的直线L，如图3.1。

从图形上看，交集C∩L恰好有两个点组成，其中一个是(-1,0)，我们只需求出另一个，取不同的m值，便可以求出圆C上x坐标与y坐标都是有理数的点。

联立方程和，化简得

另一方面，如果得到一个有理数解，则过点与的直线斜率是有理数。所以，通过取m的所有可能值，上述过程就生成方程的所有有理数解。（点(-1,0)例外，它对应斜率的铅直线）

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我们将结果概括为下述定理：

写在最后：

参考资料：
Joseph H. Silverman《数论概论》(第三版)

这里介绍了勾股数组的另一种方式推导方式，以及短除法的妙用。

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