CSU 1325: A very hard problem 中南月赛的一道题。

1325: A very hard problem

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Description

CX老湿经常被人黑，被黑得多了，自己也就麻木了。于是经常听到有人黑他，他都会深情地说一句：禽兽啊！

一天CX老湿突发奇想，给大家出了一个难题，并且声称谁能够准确地回答出问题才能继续黑他，否则他就要反击了。

这个难题就是：

给出两个数p和q，接下来q个询问，每个询问给出两个数A和B，请分别求出：

一、有多少个有序数对（x，y）满足1<=x<=A，1<=y<=B，并且gcd（x，y）为p的一个约数；

二、有多少个有序数对（x，y）满足1<=x<=A，1<=y<=B，并且gcd（x，y）为p的一个倍数。

 

 

Input

 

只有一组测试数据。

第一行两个数：p和q。（1<p<10^7 ，1<q<1000。）

接下来有q行，每行两个数A和B。（1<A,B<10^7）

 

 

 

Output

 

输出共q行。每行两个数。用空格隔开。

分别表示题目描述中的两个对应的答案。

 

(x,y)=(2,3)和(x,y)=(3,2)被视为两个不同有序数对哦！

 

 

 

Sample Input

6 3

8 8

15 32

13 77

Sample Output

58 1

423 10

883 24

HINT

 

 对于64位整型请用lld，或者cin，cout。T_T

CSU_LQ

这一道题是去年的一次比赛的题，当时觉得用欧拉能做，然后很难实现。

后来知道用莫比乌斯反演来做，但是一直超时。已经使用分块了，还是超时。

题意：略

思路：对于第二种，直接(A/p)*(B/p)就是答案。不难理解。

　　   对于第一种情况：

设

g(p)代表枚举P的每一因子 di 求gcd(x,y)=di (1<=x<=A,1<=y<=B)的累加和。

就是题意要求的值。

如果此时，枚举每一个P的因子di 来求，就会超时。

这个式子可以转化一下，另T = di*x,那么式子可以转化为：

这样的话，我们只需要先预处理后一部分，就可以用sqrt(min(A,B)) 的时间解决这个问题。

这部分如何预处理呢？

首先我们先打表求出u[];

分析这个式子，设tom(T) = sigma(u[di],T%di==0&&di是P的因子);

由于p是唯一的，我们求出它的因子，然后用它的因子筛选一下数组hxl[ ] ,就是tom（T）；

最后hxl[]，前n项和，用分块来做，完毕。

 1 #include<iostream> 

 2 #include<stdio.h> 

 3 #include<cstring> 

 4 #include<cstdlib> 

 5 #include<math.h> 

 6 using namespace std; 

 7   

 8 typedef long long LL; 

 9 const int maxn = 1e7+1; 

10 bool s[maxn]; 

11 int prime[670000],len = 0; 

12 int yz[10002],ylen; 

13 int mu[maxn]; 

14 int hxl[maxn]; 

15 void  init() 

16 { 

17     memset(s,true,sizeof(s)); 

18     mu[1] = 1; 

19     for(int i=2;i<maxn;i++) 

20     { 

21         if(s[i] == true) 

22         { 

23             prime[++len]  = i; 

24             mu[i] = -1; 

25         } 

26         for(int j=1;j<=len && ((long long)prime[j])*i<maxn;j++) 

27         { 

28             s[i*prime[j]] = false; 

29             if(i%prime[j]!=0) 

30                 mu[i*prime[j]] = -mu[i]; 

31             else

32             { 

33                 mu[i*prime[j]] = 0; 

34                 break; 

35             } 

36         } 

37     } 

38 } 

39 void solve(int  p) 

40 { 

41     ylen = 0; 

42     int k = (int)sqrt(p*1.0); 

43     int tmp; 

44     for(int i=1;i<=k;i++) 

45     { 

46         if(p%i==0) 

47         { 

48             yz[++ylen] = i; 

49             tmp = p/i; 

50             if(tmp!=i) yz[++ylen] = tmp; 

51         } 

52     } 

53     for(int i=1;i<=ylen;i++) 

54     { 

55         for(int j=yz[i],k=1;j<maxn;j=j+yz[i],k++) 

56             hxl[j]=hxl[j]+mu[k]; 

57     } 

58     for(int i=2;i<maxn;i++) hxl[i] = hxl[i]+hxl[i-1]; 

59 } 

60 int main() 

61 { 

62     init(); 

63     int  p,q,A,B; 

64     scanf("%d%d",&p,&q); 

65     solve(p); 

66     while(q--) 

67     { 

68         scanf("%d%d",&A,&B); 

69         if(A>B) swap(A,B); 

70         long long ans1 = 0,ans2 = 0; 

71         for(int i=1,la = 0;i<=A; i=la+1) 

72         { 

73             la = min(A/(A/i),B/(B/i)); 

74             ans1 = ans1+(long long)(hxl[la]-hxl[i-1])*(A/i)*(B/i); 

75         } 

76         ans2 = (A/p)*(B/p); 

77         printf("%lld %lld\n",ans1,ans2); 

78     } 

79     return 0; 

80 } 

81   

82 /************************************************************** 

83     Problem: 1325 

84     User: 987690183 

85     Language: C++ 

86     Result: Accepted 

87     Time:1052 ms 

88     Memory:92044 kb 

89 ****************************************************************/