代码随想录算法训练营第四十一天| 343. 整数拆分 96.不同的二叉搜索树

343. 整数拆分

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思路： 动态规划
动规5步曲：

1、确定dp数组及其下标含义：
dp[i]: 拆分数字 i ，可以得到的最大乘积为dp[i]

2、确定递推公式
从 1 开始遍历 j 然后两种方式得到dp[i]

1. j * (i - j) 这是拆分为两个数相乘的情况
2. j * dp[i-j] 这种是拆分成3种以上的情况，想想dp[i]的含义，表示拆分i，
   那么这里就可以表示拆分i-j的情况，这里不容易想出来，需要仔细想
   所以递推公式是：max(j * (i - j), j * dp[i-j])
   然后在取最大值的时候在对比dp[i],拿到真正的最大乘积

3、dp初始化
这里还是比较好想的，因为拆分0和1没有什么意义，那么就从dp[2]开始拆分，
dp[2] = 1 表示拆分2的最大乘积是1

4、确定遍历顺序
dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。

因为拆分一个数n 使之乘积最大，那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的。
例如 6 拆成 3 * 3， 10 拆成 3 * 3 * 4。 100的话 也是拆成m个近似数组的子数 相乘才是最大的。
只不过我们不知道m究竟是多少而已，但可以明确的是m一定大于等于2，既然m大于等于2，也就是最差也应该是拆成两个相同的 可能是最大值。
那么 j 遍历，只需要遍历到 n/2 就可以，后面就没有必要遍历了，一定不是最大值。

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        //1、确定dp数组以及其下标含义：i拆分的数， dp[i]拆分i的最大乘积
        //2、确定递推公式：固定i，那么拆分就有 i*(i-j)z种情况，拆分(i-j)那么有i*dp[i-j]
        //3。初始化：只有拆分dp[2]有意义，而乘积等于1

        vector<int>dp(n+1);
        dp[2] = 1;

        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
                dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
            }
        }

        return dp[n];
    }
};

总结： 这里做了优化，是因为我们每次拆分的时候，这拆分的值值越接近，乘积越大
总体来说做这道题还是不熟练，对于dp我确实是没有什么天赋，只能寄托于以后多刷几遍来增加手感了。

96.不同的二叉搜索树

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思路：
1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i] ： 到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]。

也可以理解是i个不同元素节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i] ，都是一样的。
以下分析如果想不清楚，就来回想一下dp[i]的定义

2、确定递推公式
在上面的分析中，其实已经看出其递推关系， dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]
j相当于是头结点的元素，从1遍历到i为止。

所以递推公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ，j-1 为j为头结点左子树节点数量，i-j 为以j为头结点右子树节点数量

3、dp数组如何初始化
初始化，只需要初始化dp[0]就可以了，推导的基础，都是dp[0]。

那么dp[0]应该是多少呢？

从定义上来讲，空节点也是一棵二叉树，也是一棵二叉搜索树，这是可以说得通的。

从递归公式上来讲，dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量] 中以j为头结点左子树节点数量为0，也需要dp[以j为头结点左子树节点数量] = 1， 否则乘法的结果就都变成0了。

所以初始化dp[0] = 1

4、确定遍历顺序
首先一定是遍历节点数，从递归公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出，节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态。

那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态，用j来遍历。

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int>dp(n+1);

        dp[0] = 1;

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                dp[i] += dp[i-j] * dp[j-1];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};