leetecode29. 两数相除

题目描述

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解题思路：

1.本题不允许采用除法直接计算。所以我们可以采用加法逼近的方法 。也就是把多少个除数相加以后最近接被除数 则得到的多少个除数的这个数字就是相除后的商举例来说，例如 23/3=7 这个除法我们就是让 3+3+3+ 。。。。。+3 N个3相加得到不大于23且最接近23 的的数字时候，这个时候需要用到的数字N就是商，这里我们可以看到3X7=21 3X8=24 即商为7 即7个3累加的时候最接近23且 余数2 。

2.如何找到数字N呢,如果采用一个循环不停地做3的累加直到最近接被除数为止的话这样可以得到答案但是需要循环 23/3次复杂度为O（N）显然计算速度太慢。有没有更快的办法的呢？可以采用类似折半查找的办法，这里我们可以用翻倍逼近的办法来做如下操作。用被除数不断地乘上2做数字的翻倍的操作直到超过被除数后 ，然后对剩下的余数做类似操作 ，直至得到的余数小于被除数或者为0 回到例子来说 23/3 :
a . 3翻倍：3•2=6 余数17
b. 再次翻倍 6•2=12 ; 余数11
c. 再次翻倍128•2=24 此时24 大于23 了 返回b 此时3×2^2 余数为11 加权值p=2
d 用11/3继续上述操作直至余数小于3 此时为3×2^1 余数为5 加权值p=1，
5/3 继续上述操作直至余数小于3 此时为3*2^0 余数为2 此时循环结束 加权值p=0 每一步得到一个每一位数的权值序列：【2,1,0】
最后商的数字为2^2 + 2^1 + 2^0 = 4+2+1 =7

具体代码为

def divide(self, dividend, divisor):
        """
        :type dividend: int
        :type divisor: int
        :rtype: int
        """
        sign = -1 if (divisor>0)^(dividend>0)  else 1
        if abs(dividend)=-1*2**31 and result <=2**31-1:
            return result
        else:
            return 2**31-1

总结

采用翻倍的办法后计算的循环的次数可以N= lg(N/2)+lg(N/4) +.....+lg(1)~O(lg(N)*lg(N))显然比单个累加要好很多,本算法采用递归最大递归嵌套层数为lg(N/2)所以如果计算数字较大应考虑递归超限制问题。可一将递归改为迭代。