旋转矩阵R、平移向量t以及变换矩阵T的定义及其下标的含义

旋转矩阵R

首先，只考虑旋转。

假设坐标系1： $\{X_1,Y_1,Z_1\}$ 经过纯旋转之后得到坐标系2： $\{X_2,Y_2,Z_2\}$ （如上图），其中坐标系1对应的单位正交基为 $\left(e_1,e_2,e_3\right)$，坐标系2对应的单位正交基为 $\left(e_1^{\prime },e_2^{\prime },e_3^{\prime }\right)$。 对于空间中的同一个点 $\mathbf{p}$ ，假设点 $\mathbf{p}$ 在坐标系1和坐标系2下的坐标分别为 ${\mathbf{a}}_1={\left[a_1,a_2,a_3\right]}^T$，${\mathbf{a}}_2={\left[a_1^{\prime },a_2^{\prime },a_3^{\prime }\right]}^T$。由于点 $\mathbf{p}$ 并没有随着坐标系的旋转而发生运动，根据坐标的定义，有：

$$\left[{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3\right]\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right]=\left[{\mathbf{e}}_1^{\prime },{\mathbf{e}}_2^{\prime },{\mathbf{e}}_3^{\prime }\right]\left[\begin{array}{c}{a}_1^{\prime }\\ a_2^{\prime }\\ a_3^{\prime }\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(1)}$$

为了描述两个坐标之间的关系，我们对上面等式左右同时左乘 ${\left[{\mathbf{e}}_1^T,{\mathbf{e}}_2^T,{\mathbf{e}}_3^T\right]}^T$，那么左边的系数变成了单位矩阵，所以有：

$$\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{e}}_1^T{\mathbf{e}}_1^{\prime }& {\mathbf{e}}_1^T{\mathbf{e}}_2^{\prime }& {\mathbf{e}}_1^T{\mathbf{e}}_3^{\prime }\\ {\mathbf{e}}_2^T{\mathbf{e}}_1^{\prime }& {\mathbf{e}}_2^T{\mathbf{e}}_2^{\prime }& {\mathbf{e}}_2^T{\mathbf{e}}_3^{\prime }\\ {\mathbf{e}}_3^T{\mathbf{e}}_1^{\prime }& {\mathbf{e}}_3^T{\mathbf{e}}_2^{\prime }& {\mathbf{e}}_3^T{\mathbf{e}}_3^{\prime }\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_1^{\prime }\\ a_2^{\prime }\\ a_3^{\prime }\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2)}$$

将等式右边的矩阵记做 ${\mathbf{R}}_{12}$，即有：

$${\mathbf{a}}_1={\mathbf{R}}_{12}{\mathbf{a}}_2\text{\hspace{1em}(3)}$$

矩阵 ${\mathbf{R}}_{12}$便是旋转矩阵，其描述了坐标系1到坐标系2的旋转。矩阵 ${\mathbf{R}}_{12}$ 的下标有两个含义：

1. 表示坐标系1到坐标系2的旋转
2. 表示将坐标系2中点的坐标通过旋转变换，从而得到同一个点在坐标系1中的坐标

平移向量t

然后，只考虑平移。

假设坐标系1： $\{X_1,Y_1,Z_1\}$ 经过纯平移之后得到坐标系2： $\{X_2,Y_2,Z_2\}$ （如上图）。 对于空间中的同一个点 $\mathbf{p}$ ，假设其在两个坐标系下对应的坐标表示分别为 ${\mathbf{a}}_1={\left[a_1,a_2,a_3\right]}^T$，${\mathbf{a}}_2={\left[a_1^{\prime },a_2^{\prime },a_3^{\prime }\right]}^T$。由几何关系，很显然有：

$${\mathbf{a}}_1={\mathbf{a}}_2+{\mathbf{t}}_{12}\text{\hspace{1em}(4)}$$

向量 ${\mathbf{t}}_{12}$便是平移向量，其描述了坐标系1到坐标系2的平移。其下标同样也有两个含义：

1. 表示坐标系1到坐标系2的平移（对应坐标系1的原点指向坐标系2的原点的向量）
2. 表示将坐标系2中点的坐标通过平移变换，从而得到同一个点在坐标系1中的坐标

变换矩阵T

最后同时考虑选择和平移，也就是坐标系之间的刚体运动。

假设坐标系1： $\{X_1,Y_1,Z_1\}$ 经过旋转和平移之后得到坐标系2： $\{X_2,Y_2,Z_2\}$ （如上图）。 对于空间中的同一个点 $\mathbf{p}$ ，假设其在两个坐标系下对应的坐标表示分别为 ${\mathbf{a}}_1={\left[a_1,a_2,a_3\right]}^T$，${\mathbf{a}}_2={\left[a_1^{\prime },a_2^{\prime },a_3^{\prime }\right]}^T$。

通过将上述的旋转和平移合到一起，则有：

$${\mathbf{a}}_1={\mathbf{R}}_{12}{\mathbf{a}}_2+{\mathbf{t}}_{12}\text{\hspace{1em}(5)}$$

为了简化形式，引入齐次坐标有：

$$\left[\begin{array}{l}{\mathbf{a}}_1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}{\mathbf{R}}_{12}& {\mathbf{t}}_{12}\\ 0^T& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{\mathbf{a}}_2\\ 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(6)}$$

同样为了保持简洁，我们将 ${\mathbf{a}}_1$ 和 ${\mathbf{a}}_2$ 的齐次坐标简写成 ${\mathbf{a}}_1$ 和 ${\mathbf{a}}_2$，并将等式右边的矩阵记做 ${\mathbf{T}}_{12}$，则有：

$${\mathbf{a}}_1={\mathbf{T}}_{12}{\mathbf{a}}_2\text{\hspace{1em}(7)}$$

其中， ${\mathbf{T}}_{12}$为坐标系1 转换到坐标系2的变换矩阵，包含了旋转和平移。其下标对应的也有两个含义：

1. 表示坐标系1到坐标系2的变换（包含旋转和平移）
2. 表示将坐标系2中点的坐标通过旋转和平移变换，从而得到同一个点在坐标系1中的坐标