摘要
随着基于位置的服务（LBS）的普及，空间数据处理在数据库系统管理的研究中受到了广泛的关注。在各种空间查询技术中，索引结构在数据访问和查询处理中起着关键作用。然而，现有的空间索引结构（例如，R-tree）主要集中于对数据空间（Space）或数据对象（Object）进行划分（Partition）。在本文中，我们探索了通过学习数据分布（Distribution）来构建空间索引结构的潜力。我们设计了一种新的数据驱动的空间索引结构，即 Learned Z-order Model（ZM）索引，它结合了 Z-order 空间填充曲线和多阶段*（Staged）学习模型。在真实数据集和合成数据集上的实验结果表明，在大多数情况下，我们的学习索引显著降低了内存开销，并且比 R-tree 执行效率更高。
基于空间索引如何做范围查询（Range Query）？
- 访问索引的根节点
- 递归地检索所有和指定范围相交的孩子节点
作者对于传统索引结构的评价
However, these approaches do not leverage the distribution patterns of data objects to get a denser index representation.
My Review
简单来说，学习索引的优势在于两处：
- 内存开销大幅降低
- 基于训练好的模型做查询，性能提升明显，可能有70%
这篇文章应该是 well written，也没有 overclaim 学习索引的各种奇妙能力。作者脚踏实地地用 Z-order 空间填充曲线来排序空间数据，再以 RMI 方式训练。基于该模型执行 range query，主要看点在于 biased_search 和 predict 这两个方法是具体怎么设计的，以及看一个完整的 workflow，对于我巩固此方面的调研，并且作为 baseline 都有借鉴意义。
Z-order
我在【SIGSPATIAL '20】A Tutorial on Learned Multi-dimensional Indexes 也提到，将学习模型应用到多维度数据上的一大挑战就是，多维的数据往往没有一个“总序”。试想一下，一维数据上的范围查询会有多简单呢，就是给定一个范围查找出对应区间的所有数据即可。而且学习模型也给出了针对这种需求的解决方案，就是我们着手这种问题的时候，首先会想到“二分查找”、再者数据库会想到“B+-tree”，那么敏感的机器学习研究者就会想到预测。结果可想而知，Learned Model 替代 Index 取得了非常强悍的效果，那么对于空间数据呢？
Z-order 空间填充曲线是很自然想到解决这个问题的方法。我也关注到 JUST（京东城市计算）有提出新的 XZ-order 技术，也会在后面调研的时候关注一下。
这一部分后面就主要介绍 Z-order 到底是什么？Z-order 和 Z-address 技术提出于 Integrating the UB-tree into a database system kernel（ VLDB 2000）。简单概括他的思想就是通过画 “Z” 来提供一个空间数据的顺序，就像制定了一个规则，告诉大家什么是大，什么是小。
如果 Z-order 是一套规则告诉我们怎么排序，那么 Z-address 就是根据 Z-order 给每个网格（具体形态是什么不用太 care）赋一个独立整数。
Z-address 怎么计算？
Z-address 本质是保证单调性（Monotonic）。
范围查询，简单来说就是给定一个矩形（rectangle），这个矩形怎么表述呢？就是两个点，这两个点是两个对角点，这样一个范围就被框定了。和图里那个框框一样，但是在实现的时候实际上只要指定两个点就代表一个范围了。在空间数据库里可能是个矩形，在普通多维数据查询的时候很可能就是用 where 框定的一系列过滤条件。这里也可以顺便理解一下，为什么要那么多维度，我们不能以可视化的思维去思考这个问题。比如你想找一个薪水大于 100 万、年龄小于 30 且身高大于 180 的男生，实际上就是 4-D 数据查询了。（我总是偏题..
1）编码步骤
将空间递归分解成为更小的四个子空间，直到到达最大递归层级，分解过程中得到的四个子空间采用类似字母Z的顺序依次从0编码到3。所有的空间点都将被其所在最底层子空间的编码表示。如下图中空间点 p1 和 p2 都被 333 表示，p3 被 331 表示。
2）本文中是如何描述 Z-address 计算的
模型
由很多个线性模型或 NN 组成，每层模型的损失函数定义：
模型将按下面这个公式递归地构建起来：
叶子模型（这里我随意称呼它为这个）输出的位置可能不准，但是可以保证误差，如果叶子模型的输出为 position，我们认为真正的 key 位置在 position − min error 和 position + max error，利用二分查找走完最后一公里。
这篇文章用的基本模型是带有一个全连接隐层的前向神经网络，激活函数是 ReLU。
理论分析
B-tree：时间复杂度 O（log n）、空间复杂度 O（n）
R-tree：时间复杂度 O（log_M N）、空间复杂度 O（N）
learned ZM Model：均是 O（hw），h 和 w 就是假设有两个隐层，这两个隐层分别有 h 和 w 个神经元。
具有更多层（作者认为决策树的层级为 stage，layer 为另一种层，这里就是统一描述一下，实际上都包括）的模型将开销更大，但我们可以手动设置这些参数。换句话说，如果我们的模型能够学习 Z-address 的极其简单且精确的分布，我们可以实现常数级的查找时间和内存开销。例如，如果 Z-address 的分布是线性的，我们的模型将变成一个简单的线性模型，其搜索时间和内存大小是恒定的。
基于 learned ZM index 如何做查询？或者说查询处理流程是什么？
一、High-level 流程
- 构建 learned ZM index ；
- 基于 learned ZM index 执行范围查询。
二、具体查询实现细节
在该模型应用后，可以看到这个范围处理的流程是非常简单的，如下：
1）把数据集读入内存，初始化查询返回集；
2）计算整个数据集中的 min 和 max（根据 Z-address 值），即 z_start 和 z_end；
3）计算一个学习出来的范围，以 pos_start 和 pos_end 表征，我们认定结果一定在这个范围内，从而做到过滤大部分非候选键值的效果；
4）在 pos_start 和 pos_end 范围内的数据，若满足查询要求，则加入结果集；
5）返回结果集。
实验效果简述
作者拿 R-tree 和 learned ZM index 对比，主要从三个方面：1）内存开销；2）点查询；3）范围查询。
一、内存开销
learned ZM index 比 R-tree 降低 94% 内存开销，作者给出的解释是他们的神经网络模型很简单，参数很少，所以内存开销低这么多理所当然。
二、点查询
随机选取 10000 个点，查询速度上 learned ZM index 是 R-tree 的 2.3 - 2.5 倍。作者给出的解释就是，在复杂结构上检索远不如简单预测来得快。
三、范围查询
设置查询度从 0.0001 到 0.1，当查询度比较低的时候，learned ZM index 比 R-tree 快 40%；当查询度很高的时候（ 0.1 的时候），learned ZM index 比 R-tree 慢 5%。
对于比 R-tree 慢的现象，作者给的解释是，数据集本身的分布特性难以捕捉，再加上返回结果的时候需要将 Z-address 解码回 2D 数据点形态，都需要消耗时间，所以当我们需要查询到的结果集特别大的时候，性能开销都会增大。
作者在另一个数据集上也做了这个实验，learned ZM index 不管查询度为多少，都取得更好的效果，应该是代表这个数据集的分布更容易学习到吧。