细讲如何对NFA确定化和最小化

NFA的确定化和最小化

前言

  期末在即，编译原理的考试真让人头疼，不得不利用这短暂的时间把编译原理的诸多大题过一遍。

如果感兴趣可以参观博主其他一些有关编译原理的相关习题详解，相关文章可以在主页查看：
​✈️ 传送门

---

相关概念

• 什么是有穷自动机？

  有穷自动机（也称有限自动机）是一种识别装置，能准确识别正规集，即正规文法和 正规式 所表示的集合。

  其中可分为：确定的有穷自动机（DFA）和 非确定的有穷自动机（NFA）

• DFA：$M(K,\Sigma ,f,S，Z)$

  • $K$：是所有状态的集合（一般状态用大写字母或者阿拉伯数字表示）
  • $\Sigma$：是所有输入符号的集合（一般输入符号用小写字符表示）
  • $f$：是一种单值映射关系¹（一般表示：$(K_i,{\Sigma }_i)=K_j$，即状态$K_i$后面输入字符${\Sigma }_i$得到状态$K_j$）

  • $S$：表示初始状态（是唯一的）
  • $Z$： 表示一个终态集（不唯一，终止状态可以有多个）

• NFA：$M(K,\Sigma ,f^{\prime },S^{\prime }，Z)$

  • $K$：是所有状态的集合（一般状态用大写字母表示）
  • $\Sigma$：是所有输入符号的集合（一般输入符号用小写字符表示）
  • $f^{\prime }$：是一个$K\times {\Sigma }^{\ast }$到全体子集的映像(一般表示：$K\times {\Sigma }^{\ast }\to 2^k$）
  • $S^{\prime }$：表示非空初状集（不唯一，在DFA种可以有多个非空初状态）
  • $Z$： 表示一个终态集（不唯一，终止状态可以有多个）

其实DFA是NFA的一种特殊情况。两者的主要区别:

• NFA函数关系$f^{\prime }$既可以多值映射又可以单值映射，而DFA中的函数关系$f$只能单值映射
• NFA的初状态非空不唯一，而DFA初状态非空且唯一
• NFA可以带空（ε）转换，DFA不能

• 什么是确定化？为什么要确定化？

  确定化就是将NFA转换成DFA的过程。
  在非确定的有穷自动机种（NFA）中，由于状态的转移需要经过若干步，并且每一步都是不可预测的，对后续输入的字符存在一个试探的过程。而在试探的过程中可能会带来重复的步骤，这无疑是增加了程序的运行时间同时降低了工作效率，将NFA转成DFA进行确定化就是为了增加程序的效率缩短工作时间。

• 什么是最小化？为什么要最小化？

  DFA的最小化就是寻求状态数最小的与原DFA等价的DFA。最小化可以降低编译器构造的复杂度、 提高编译器的运行效率

---

实战例题

• NFA确定化方法：
  • 子集法：（假设输入字符集$Z=\{a,b\}$）
    Step1：设置三列：$I、I_a、I_b$
    Step2：第一行，求初始态S对ε的推导得到字符集①写入第一列。求对①输入字符ε、a的推导得到字符集${①}^{\prime }$写入第二列。求①对输入字符ε、b的推导得到符号集${①}^{\prime \prime }$写入第三列；
    Step3：第二行，观察${①}^{\prime }$是否与第一列$I$有重复，重复则跳过，不重复就写入第二行第一列，重新记作字符集②。求②对字符ε、a的推导得到字符集${②}^{\prime }$写入第二列。求②对字符ε、b的推导得到字符集${②}^{\prime \prime }$写入第三列；
    Step4：第三行，以${①}^{\prime \prime }$为标准进行判断，求相应$I_a和I_b$所对应的字符集
    ……持续递推，直到无法产生新的字符集
  • 造表法：
    • Step1：将NFA的转换图转换成以状态为行，输入为列的图表
    • Step2：对原有的状态图进行重新标记

两种方法相比较，我更喜欢造表法，因为它的解题步骤更加简洁，但是对于计算机而言，需要使用子集法来实现

• NFA的最小化：（假设输入字符集$Z=\{a,b\}$）
  • Step1：初始划分，将DFA按照非终态和终态划分成两个集合A，B
  • Step2：$I_a$划分，将A，B集合中的元素，按照其$I_a$属于A还是B进一步划分成A1,A2,B1,B2。
  • Step3：$I_b$划分。将A1,A2,B1,B2集合中的元素，按照其$I_b$属于A1,A2,B1,B2中的哪一个进一步划分成A12,A22,B12,B22
  • Step4：上面划分完成的集合重命名为状态0，1，2，3
  • Step5：画出相应的状态图，即为最小NFA

附上例题：
例1：
将下图（a）和（b）确定化和最小化。

$$\begin{gathered} 解： \\ （1）对图（a）: \end{gathered}$$
首先可知图（a）是一个NFA，对其进行确定化，如下所示：
将图（a）NAF的状态转换图转换成DAF的矩阵状态转换图：

$I$	$I_a$	$I_b$
$\{0\}$	$\{0,1\}$	$\{1\}$
$\{0,1\}$	$\{0,1\}$	$\{1\}$
$\{1\}$	$\{0\}$	$Ø$

所以图（a）对应的DFA为：

$I$	$I_a$	$I_b$
0	1	2
1	1	2
2	0	$Ø$

得到相应的DFA转换图：(含有终态节点就用双圈)

最小化后的NFA为：

说明：
$I$表示状态集合的ε闭包，可记作：$\epsilon -closure(I)$。大白话就是：初始状态自身以及自身能通过ε到达的状态的集合。
$I_a$表示状态集合的$I$的$a$弧转换，可记作：$move(I,a)，$大白话就是： $I_a$集合就是$I$集合中的元素经过 ε或者a 能到达的状态所组成的集合，$I_b$同理。

解题分析：

由图可知对于状态0，存在函数关系f(0,a)=1、f(0,a)=0，显然状态0对于输入字符a的函数关系f是多值映射，故图(a)是NFA转换图

对于确定化：

• Step1：对于初状态0，因为（a）图中没有ε转换，故集合①就是状态$\{0\}$
• Step2：此时$I$={0}，此时图中没有$\epsilon$弧，不用管ε，但是有a，状态0经过a可到达状态0和1，所以$I_a=\{0，1\}$，同理可求得$I_b=\{1\}$
• Step3：观察第一行的$I_a$是否已存在第一列，显然第一列$I$中没有存在上一行的$I_a$，故将它第二行的$I$中，继续求得这一行的$I_a$，$I_b$
• Step4：观察第一行的$I_b$是否已存在第一列，显然第一列$I$中没有存在上一行的$I_b$，故将它第二行的$I$中，继续求得这一行的$I_a$，$I_b$
• Step5：观察第二行的$I_a$是否已存在第一列，显然第一列$I$中已存在$\{0,1\}$，故跳过，进行第二行的$I_b$判断，经过观察易发现后续的$I_a$和$I_b$都是$I$中已存在的。所以可以得出结论，该DNF已转换成了DNF完成了确定化
• Step6：将$I$列自上而下重新命名为状态：0、1、2
• Step7：然后将对应的命名填写入$I_a$和$I_b$中，即为最终结果
  总的来将，NFA的确定化就是递推求解，再对所求集合进行重新命名，最终根据所求表画出相应的DNF状态图的过程

对于最小化：

• Step1：：根据集合是否包含终态节点0，可划分为终止态和非终止态$A=\{0^{\prime },1^{\prime }\}$和$B=\{2\}$
• Step2：：经过观察可以知道，$0^{\prime }$对应的$I_a=1^{\prime }\subseteq A，同时1^{\prime }对应的I_a同样属于A$，故当前无需划分；对于{2}只有一个元素也无需划分
• Step3：：同理后续$0^{\prime }$对应的$I_b=1^{\prime }\subseteq B，同时1^{\prime }对应的I_b同样属于B$，故当前无需划分
• Step4：当前无可划分集合，划分完成

$（2）对于图（b）:$
显然可知其本身就是一个DFA，因为他不存在多值映射关系，故不需要确定化。先对其进行最小化：

• Step1：初始划分。$A=\{0,1\},B=\{2,3,4,5\}$
• Step2：$I_a划分$。对于集合A中的元素，由图可知，0对应的$I_a$是1，1对于的$I_a$是0，0和1同属于A，故无需划分；对于集合B中的元素，由图可知，2对应的$I_a$是1，3对应的$I_a$是3，4对应的$I_a$是0，5对应的$I_a$是5，故可进一步划分成集合$B1\{2,4\},B2=\{3,5\}$
• Step3：$I_b划分$。对于集合A中的元素，，0对应的$I_b$是2,，1对应的$I_a$是4，2和4同属于集合B1，故无需划分，同理可知B1，B2中的元素也无需划分，划分完成
• Step4：将划分的集合重新编号0，1，2，根据划分画出相应的状态转换图，如下：

例2：
将下图的NFA确定化：



例3：
将图中的DFA最小化

---

1. 状态经过后面的输入只能到达除自身以外的唯一一个状态 ↩︎