因果推断理论框架 Potenial Outcomes Framework

1.Potenial Outcomes Framework

  因果效应通常无法直接计算(无法同时观测一个样本施加和不施加干预的结果)，所以通常是通过观测数据推断，由于相关性$\ne$因果性，观测结果不直接等于ATE，Potenial Outcomes Framework提供了一套从观测结果获得因果效应的理论
定义：
$X$： 协变量
$T$：T=1干预组，T=0对照组
$Y$：observed outcome观测结果
$Y_0,Y_1$：potential outcome潜在结果，如果接受干预T=1或者T=0时的潜在结果
$E(Y_0),E(Y_1)$：潜在结果的均值，如果所有人接受干预T=1(或者T=0)的均值
ATE(average causal treatment effect) ：
$$\Delta ={\mu }_1-{\mu }_0=E(Y_1)-E(Y_0)$$

2.Observation Studies

  针对某个样本无法同时获得T=1和T=0的结果，样本的潜在结果Y可以写为：$Y=Y_{1}T+Y_0(1-T)$。通常情况下是无法从观测数据直接得到ATE的。由于confounders的存在，T=1和T=0组无法直接比较，导致相关性$\ne$因果性，相关性可由观测结果得到，因果性即为需要计算的ATE。

相关性：$E(Y|T=1)-E(Y|T=0)$ 因果性：$E(Y_1)-E(Y_0)$

2.1 相关性$\ne$因果性举例

  一组观测数据发现穿鞋睡觉和醒来头痛有强相关性，这明显不符合常识：

$E(Y|T=1)-E(Y|T=0)=E(头痛=1|穿鞋睡觉=1)-E(头痛=1|穿鞋睡觉=0)$
  但是穿鞋睡觉和头痛相关，实际上是由confounder喝酒引起的。从下图中可以看到，T=1穿鞋睡觉组和T=0组喝酒人数占比相差很大。所以，要得到穿鞋睡觉对头痛的因果效应(ATE)，需刨除喝酒影响，使得两组喝酒人数占比一致，这样两组数据结果才是可比的。

2.2 相关性$\ne$因果性证明

${\overline{Y}}^{(1)}$为观测到的T=1的所有样本均值
$${\overline{Y}}^{(1)}=E(Y|T=1)=E(Y_{1}T+Y_0(1-T)|T=1)=E(Y_1|T=1)\text{\hspace{1em}(1)}$$ 但是 $E(Y_1|T=1)\ne E(Y_1)$ ，因为$E(Y_1)$是所有样本接受干预的潜在结果的均值。
$$\begin{array}{rl}E(Y_1|T=1)-E(Y_0|T=0)& =\stackrel{ATT}{E(Y_1-Y_0|T=1)}+\stackrel{bias}{E(Y_0|T=1)-E(Y_0|T=0)}\\ & \ne \Delta \ne E(Y_1)-E(Y_0)\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$

3.RCT随机实验

和观测数据比，RCT实验数据符合一下条件：
$$(Y_0,Y_1)\perp T⟺X\perp T$$ $Y_1\perp T$表示对于观测到T=0的样本，如果接受干预，其潜在结果和T=1的样本一致。即是否接受干预对潜在结果无影响(直观理解是由于$T\perp X$，T=1和T=0两组人群可比，所以施加干预得到的潜在结果一致)：
$$E(Y_1|T=1)=E(Y_1|T=0)=E(Y_1)\text{\hspace{1em}(3)}$$ $E(Y_1|T=0)$是反事实对照结果，表示如果未干预组样本接受干预的潜在结果。由于一致性假设(将在下面阐述)，T=1的潜在结果和实际观测结果一致，即$E(Y_1|T=1)={\overline{Y}}^{(1)}$
由于3式成立，
$${\overline{Y}}^{(1)}-{\overline{Y}}^{(0)}=\Delta =E(Y_1)-E(Y_0)$$

4. 获得ATE无偏估计的假设

4.1 Unconfoundedness

• conditional ignorability ??

• exchangeability

  • 对于RCT实验数据，exchangeability：$Y_1\perp T$，如公式3所示，表示干预T与潜在结果$Y_t$无关；
  • 对于观测数据，conditional exchangeability：$Y_1\perp T|X$
  • Unconfoundedness is an untestable assumption

4.2 Positivity

• $0<P(T=1|X)<1$ ，在某个x下，如果全是treatment要么全是control，则无法计算真实ATE，此时causal effect是ill-defined（且在部分概率推到中导致除0）
• 根据贝叶斯公式，这条假设也叫Overlap between P(X|T=1) & P(X|T=0)
• 如果某些变量违背此假设，叫positivity violation，某些情况下我们可以外推结果

4.3 Consistency

• $T=t\Rightarrow Y=Y(t)$ ，此假设一般默认成立，排除confounder影响后或在实验设计中，所有样本施加同样的T，结果是一致的。举例：T为是否养狗，Y为是否开心，如果只要养狗，Y就等于开心则假设成立。如果养了一只金毛T=1，结果Y=1；养了一只哈士奇T=1,，结果Y=0。说明T定义不合理，需重新设计实验。
  

5. Adjustment

Adjustment by regression modeling
如果X包含所有confounders(sufficient adjustment sets)，则数据满足如下条件：
$$(Y_0,Y_1)\perp T|X$$ 给可以理解为，给定$X$条件下$T$和$Y_1$垂直，取某个X值时，组里X都是一样，结果差异不由confounders导致，阻断了X->Y的因果路径。

通过观测数据推断因果效应(ATE)公式推导如下：

参考资料

因果推断—原理与方法（深度好文）
Propensity Score Methods总结
Potential Outcome - Brady Neal