1981年普通高等学校招生全国统一考试（理科数学）

写在前面：
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一．（本题满分6分）

设表示有理数的集合，表示无理数的集合，即设={有理数}，={无理数}，试写出：

二．（本题满分6分）

在四位候选人中，
（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：
（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果.

三．（本题满分8分）

下表所列各小题中，指出是的充分条件，还是必要条件，还是充要条件，或者都不是.


1	四边形为平行四边形	四边形为矩形
2
3
4	点在圆上

四．（本题满分8分）

写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明

五．（本题满分10分）

解不等式（为未知数）：

六．（本题满分10分）

用数学归纳法证明等式

对一切自然数都成立.

七．（本题满分15分）

设1980年底我国人口以10亿计算
（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？
（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？

下列对数值可供选用：
lg1.0087=0.00377
lg1.0092=0.00396
lg1.0096=0.00417
lg1.0200=0.00860
lg1.2000=0.07918
lg1.3098=0.11720
lg1.4568=0.16340
lg1.4859=0.17200
lg1.5157=0.18060

八．（本题满分17分）

在的二面角的两个面和内，分别有点和点已知点和点到棱的距离分别为和且线段
1．求直线和棱所成的角;
2．求直线和平面所成的角.

九．（本题满分17分）

给定双曲线
1．过点的直线与所给的双曲线交于两点及求线段的中点P的轨迹方程；
2．过点能否作直线使与所给双曲线交于两点及且点是线段的中点？这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.

十．（附加题，本题满分20分，计入总分）

已知以为直径的半圆有一个内接正方形其边长为（如图）

设作数列
$\begin{array}{l}{u_{1}=a-b} \\ {u_{2}=a^{2}-a b+b^{2}} \\ {u_{3}=a^{3}-a^{2} b+a b^{2}-b^{3}} \\ {\ldots \ldots} \\ {u_{k}=a^{k}-a^{k-1} b+a^{k-3} b^{2}-\cdots+(-1)^{k} b^{k}}\end{array}$
求证：

完美结束。

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END

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1981年普通高等学校招生全国统一考试（理科数学）

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