实对称矩阵的特征值求法_对称矩阵、对角矩阵与三角矩阵

对称矩阵

对称矩阵（Symmetric Matrix）是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵，例如：

可以看到，对称矩阵的转置等于其自身，即：

对角矩阵

对角矩阵（Diagonal Matrix）是指除主对角线之外其他元素都为0的矩阵，例如：

三角矩阵

三角矩阵（Triangular Matrix）分为上三角矩阵和下三角矩阵。

上三角矩阵（Upper Triangular Matrix）是指主对角线以下元素全为0的矩阵，如：

下三角矩阵（Lower Triangular Matrix）是指主对角线以上元素全为0的矩阵，如：

可以看到，对角矩阵一定是三角矩阵。

对称矩阵对角化

若

是实对称矩阵（元素都是实数），则一定存在正交矩阵

，对角矩阵

，使得下式成立：

例子：

证明暂且参考：为什么实对称矩阵一定能对角化？

两边同时左乘

，右乘

，得：

又因为

是正交矩阵，所以：

这就叫做对称矩阵的对角化。

对称矩阵对角化的过程相当于将矩阵分解为特征值与特征向量的乘积，所以对称矩阵的对角化也叫做特征分解（Eigendecomposition）、谱分解（Spectral Decomposition），在上面的例子中，矩阵

的特征值为4、1、-2，对应的特征向量为

、

、

。

总结

可以看到对称矩阵、对角矩阵和三角矩阵都是关于主对角线进行定义的矩阵，所以都是方阵。