剑指offer打卡Day13：孩子们的游戏

题1：圆圈中最后剩下的数

题目描述

每年六一儿童节,牛客都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。

HF作为牛客的资深元老,自然也准备了一些小游戏。

其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈。然后,他随机指定一个数m,让编号为0的小朋友开始报数。每次喊到m-1的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续0…m-1报数…这样下去…直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到牛客名贵的“名侦探柯南”典藏版(名额有限哦!!^_)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？(注：小朋友的编号是从0到n-1)

如果没有小朋友，请返回-1

示例

输入

5,3

返回值

3

解析：

• 从故事中抽取题目，可整理得：

  给定一个由[0…n-1]构成的数组，第一次从0开始数m个数，然后删除，以后每次都从删除的数下一个位置开始数m个数，然后删除，直到剩余一个数字，找出那个数字。

  如图：
  

  在图中我们可以看到，在首次删除掉了(m-1)位元素后，之后都是不断在数组中***循环***遍历第m个数字进行删除。

  • 对于循环的操作，此时可以用到 % (取余)运算

  • 对于%运算的理解：

    • 3%10 = 1；(3/10=3......1)

      举例说明：

      在数组[1,2,3]，从第一位元素开始从左往右循环数10次，第10次必定会落在第一位。

    • 数据结构中的循环队列也是运用这一操作（等下题刷到了再仔细讲解）

  • 综上对于本次的操作，我们可以借用链表与%运算求出（见解答一）

  • 不过答案提交之后显示运行时间位30+ms，总感觉太慢了需要优化。

• 查阅资料得知此题与约瑟夫问题 十分相似：

  • 约瑟夫问题（有时也称为约瑟夫斯置换，是一个计算机科学和数学中的问题。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。又称“丢手绢问题”.）

  • 据说著名犹太历史学家Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。问题是，给定了和，一开始要站在什么地方才能避免被处决。Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。

  • 最后可根据约瑟夫问题得出一个公式

           |—— 0                 n=1
    f(n,m)=|
           |—— [f(n-1,m)+m]%n    n>1
    

  • 具体推导可见博客：

    首先分析可以得知，这是一道约瑟夫环的问题。具体约瑟夫环原理可以参考下面链接。
    约瑟夫环——公式法（递推公式）

    约瑟夫环——公式法（递推公式）讲解非常详细，必看

    剑指offer–孩子们的游戏(圆圈中最后剩下的数)

解答：

//借用链表：
public int LastRemaining_Solution_withLinkedList(int n, int m) {
    LinkedList<Integer> list = new LinkedList<Integer>();
    for (int i = 0; i < n; i ++) {
        list.add(i);
    }
    int bt = 0;
    while (list.size() > 1) {
        bt = (bt + m - 1) % list.size();
        //int num = list.get(bt);
        list.remove(bt);
        //System.out.println("移除："+num+"---->"+list);
    }
    return list.size() == 1 ? list.get(0) : -1;
}
/*
打印结果：与推理一致
[0, 1, 2, 3, 4, 5]
移除：2---->[0, 1, 3, 4, 5]
移除：5---->[0, 1, 3, 4]
移除：3---->[0, 1, 4]
移除：1---->[0, 4]
移除：4---->[0]
*/

//运用约瑟夫环问题推导公式：
 public int LastRemaining_Solution(int n, int m) {
     if (n <= 0) return -1;
     int index = 0;
     for (int i=2; i<=n; ++i) {
         index = (index + m) % i;
     }
     return index;
 }