背包问题专辑

参考文章

dd大牛的背包九讲

背包9讲，男人八题

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分割等和子集（思考收获）

1.把目标和拆了
2.不是按子和：而是num(i)比j
3.bool的状态数组：选或者不选，两者进行一个货运算。

对于 i>0 且 j>0的情况，如何确定 dp[i][j]的值？需要分别考虑以下两种情况。

• 如果 j≥nums[i] ，j≥nums[i]，则对于当前的数字 nums[i] 可以选取也可以不选取，两种情况只要有一个为 true，就有 dp[i][j]=true
  • 如果不选取 nums[i]，则 dp[i][j]=dp[i−1][j]
  • 如果选取 nums[i] ，则 dp[i][j]=dp[i−1][j−nums[i]]
• 如果 j

滚动数组
需要注意的是第二层的循环我们需要从大到小计算，因为如果我们从小到大更新 dp 值，那么在计算 dp[j] 值的时候，dp[j−nums[i]已经是被更新过的状态，不再是上一行的 dp值

语义的理解出了问题：它有一些表达上面的不同。思路相同，但实现不同，所以它的表达的语意就不同。

相同的思路就是说你可以以不变应万变。但是这种实现的不同就是因每个问题的不同而不同，那你就需要见多识广去参考十个相同思路的十种不同实现。然后作为一种积累因为其实最多的时间它不会超过三种，不同的时间就是同一个思路，它最多其实就是三种。不同的实现不会再多。

01背包问题：

分割等和子集（Medium）
一和零（Medium）
目标和（Medium）
零钱兑换 II（Medium）
盈利计划（Hard）

完全背包问题：

零钱兑换（Medium）
零钱兑换 II（Medium）
多重背包问题：
不浪费原料的汉堡制作方案（Medium）
数位成本和为目标值的最大数字（Hard）

混合背包问题：

盈利计划（Hard）
背包问题变种：
最长字符串链（Medium）
最长快乐前缀（Hard）
数位成本和为目标值的最大数字（Hard）

详解

01背包

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

几个点

1. V…0还是0…v
2. f[i][j]物品编号，背包容量的理解
3. f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f [i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

注意f[i][v]有意义当且仅当存在一个前i件物品的子集，其费用总和为v。所以按照这个方程递推完毕后，最终的答案并不一定是f[N] [V]，而是f[N][0…V]的最大值。如果将状态的定义中的“恰”字去掉，在转移方程中就要再加入一项f[i][v-1]，这样就可以保证f[N] [V]就是最后的答案。至于为什么这样就可以，由你自己来体会了。

如果只用一个数组f [0…V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1] [v-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v -c[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V…0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i -1][v-c[i]]的值。伪代码如下：

for i=1…N
for v=V…0
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i- 1][v-c[i]]}，因为现在的f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的背包问题P02最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。

动态规划—01背包问题详解：代码-一维优化：正序逆序都给出了解释

int[][] dp = new int[N+1][V+1];
        dp[0][0] = 0;
        for(int i = 1; i <= N; i++){
            for(int j = 0; j <= V; j++){
                if(j >= v[i]){
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v[i]] + w[i]);
                }else{
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
                }
            }
        }
        System.out.println(dp[N][V]);

滚动数组优化空间

 int[] dp = new int[V+1];
        dp[0] = 0;
        for(int i = 1; i <= N; i++){
            for(int j = V; j >= v[i]; j--){
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-v[i]] + w[i]);
            }
            // for(int j = 0; j <= V; j++){
            //     System.out.print(dp[j]);
            //     System.out.print(" ");
            // }
            // System.out.print("\n");
        }
        System.out.println(dp[V]);

作者：熊本熊本熊
链接：https://www.acwing.com/solution/content/1644/
来源：AcWing
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

完全背包-最朴素解法
https://www.acwing.com/solution/content/26167/

收获感悟

是顺序还是逆序，你就看他是01的问题还是完全的问题，是二维的问题还是一味的问题？

先记住这个结论，这样你才会有激情，才会有信心接着往下去做，而不要去探索它背后的原理，因为这很难，并且会很花时间，这样他会把你的激情给磨灭掉。会让你上失掉对算法的热情最终会因为止步于这一颗小树苗而放弃了对整片森林的探索。

背包问题是左边，左上角得出来的。v顺序

V改成逆序：就可以消掉i

动态规划也好，递归也好。他的这个数据都是一个带有记忆路径的数据

01背包完全背包：组合排列：可以联系在一起。

AcWing 3. 完全背包问题–一维动态规划转移过程模拟

https://www.acwing.com/solution/content/3986/

这个问题非常类似于01背包问题，所不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取0件、取1件、取2件……等很多种。

二叉树(01背包，组合)到多叉树(完全背包，排列)