负数取余运算

原文：http://ceeji.net/blog/mod-in-real/


正整数的取余运算大家都很熟悉，但是对于负数、实数的取余运算，确实给人很新鲜的感觉。于是我对


此进行了一些探索。我发现，这里面还是颇有一点可以探索的东西的。


自然数的取模运算的定义是这样的（定义1）：


如果a和d是两个自然数，d非零，可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r，满足 a = qd + r 且0 ≤ r < d


。其中，q 被称为商，r 被称为余数。


那么对于负数，是否可以沿用这样的定义呢？我们发现，假如我们按照正数求余的规则求 (-7) mod 3 


的结果，就可以表示 -7 为 (-3)* 3 +2。其中，2是余数，-3是商。


那么，各种编程语言和计算器是否是按照这样理解的呢？下面是几种软件中对此的理解。


C++（G++ 编译）： cout << (-7) % 3; // 输出 -1


Java（1.6）： System.out.println((-7) % 3); // 输出 -1


Python 2.6：>>>  (-7) % 3 // 输出 2


百度计算器：(-7) mod 3 = 2


Google 计算器：(-7) mod 3 = 2


有道计算器：(-7) mod 3 = -1可以看到，结果特别有意思。这个问题是百家争鸣的。看来我们不能直


接把正数的法则加在负数上。实际上，在整数范围内，自然数的求余法则并不被很多人所接受，大家大


多认可的是下面的这个定义2。 
如果a 与d 是整数，d 非零，那么余数 r 满足这样的关系：


a = qd + r , q 为整数，且0 ≤ |r| < |d|。


可以看到，这个定义导致了有负数的求余并不是我们想象的那么简单，比如，-1 和 2 都是 (-7) mod 3 


正确的结果，因为这两个数都符合定义。这种情况下，对于取模运算，可能有两个数都可以符合要求。


我们把 -1 和 2 分别叫做正余数和负余数。通常，当除以d 时，如果正余数为r1，负余数为r2，那么有


r1 = r2 + d


对负数余数不明确的定义可能导致严重的计算问题，对于处理关键任务的系统，错误的选择会导致严重


的后果。


看完了 (-7) mod 3，下面我们来看一看 7 mod (-3) 的情况（看清楚，前面是 7 带负号，现在是 3 带


负号）。根据定义2，7 = (-3) * (-2) + 1 或7 = (-3) * (-3) -2，所以余数为 1 或 -2。


C++（G++ 编译）： cout << 7 % (-3); // 输出 1


Java（1.6）： System.out.println(7 % (-3)); // 输出 1


Python 2.6：>>>  输出 -2


百度计算器：7 mod (-3) = -2


Google 计算器： 7 mod (-3) = -2


有道计算器：不支持
从中我们看到几个很有意思的现象： 
Java 紧随 C++ 的步伐，而 Python、Google、百度步调一致。难道真是物以类聚？联想一下，


Google 一直支持 Python，Python 也颇有 Web 特色的感觉，而且 Google Application Engine 也


用的 Python，国内的搜索引擎也不约而同地按照 Google 的定义进行运算。 
可以推断，C++ 和 Java 通常会尽量让商更大一些。比如在 (-7) mod 3中，他们以 -2 为商，余数为 


-1。在 Python 和 Google 计算器中，尽量让商更小，所以以 -3 为商。在 7 mod (-3) 中效果相同：


C++ 选择了 3 作为商，Python 选择了 2 作为商。但是在正整数运算中，所有语言和计算器都遵循了


尽量让商小的原则，因此 7 mod 3 结果为 1 不存在争议，不会有人说它的余数是-2。 
如果按照第二点的推断，我们测试一下 (-7) mod (-3)，结果应该是前一组语言（C++，Java）返回 2


，后一组返回 -1。（请注意这只是假设） 
于是我做了实际测试：


C++（G++ 编译）： cout << (-7) % (-3); // 输出 -1


Java（1.6）： System.out.println((-7) % (-3)); // 输出 -1


Python 2.6：>>>  输出 -1


百度计算器：-7 mod (-3) = -1


Google 计算器： -7 mod (-3) = -1


结果让人大跌眼镜，所有语言和计算机返回结果完全一致。


总结时间到
我们由此可以总结出下面两个结论： 
对于任何同号的两个整数，其取余结果没有争议，所有语言的运算原则都是使商尽可能小。 
对于异号的两个整数，C++/Java语言的原则是使商尽可能大，很多新型语言和网页计算器的原则是使


商尽可能小。 
最后是拓展时间。对于实数，我们也可以定义取模运算（定义3）。 
当a 和 d 是实数，且d 非零, a 除以 d 会得到另一个实数（商），没有所谓的剩余的数。但如果要求商


为一个整数，则余数的概念还是有必要的。可以证明：存在唯一的整数商 q 和唯一的实数 r 使得: a = 


qd + r, 0 ≤ r < |d|.（转自维基百科）
如上在实数范围内扩展余数的定义在数学理论中并不重要，尽管如此，很多程序语言都实现了这个定义


。至于哪些程序语言实现了这个定义，就留给大家自己探究吧！