算法与数据结构(四) 数组与均摊复杂度

    我们知道我们在java中只要数组初始化之后,长度就不能修改,所以我们一般使用ArrayList,他会自动扩容.下面我们来自己实现一个简单可扩容的数组.

  1.代码实现

    注意点:

• 当我们插入或者删除元素的时候,我们需要判断数组是否满了,或者数组的size容量是否达到容量的一半,如果是则需要进行扩容和缩容
• 扩容的时候我们需要new一个原本容量两倍的数组,然后把老的数组元素赋值给新数组
• 缩容的时候,也是new一个容量为原本一半的数组,然后把老的数组元素赋值给新数组
• 所以我们新增或者删除元素的时候最坏的情况需要触发扩缩容,时间复杂度为O(n)
• 新增或者删除元素,我们需要对其他元素进行偏移,例如我数组有100个元素,你在位置1插入了一个元素,我这原本的100个元素都得向后偏移一位,时间复杂度为O(n),删除元素同理

public class Array {

    private E[] data;
    private int size;

    // 构造函数，传入数组的容量capacity构造Array
    public Array(int capacity){
        data = (E[])new Object[capacity];
        size = 0;
    }

    // 无参数的构造函数，默认数组的容量capacity=10
    public Array(){
        this(10);
    }

    // 获取数组的容量
    public int getCapacity(){
        return data.length;
    }

    // 获取数组中的元素个数
    public int getSize(){
        return size;
    }

    // 返回数组是否为空
    public boolean isEmpty(){
        return size == 0;
    }

    // 在index索引的位置插入一个新元素e
    public void add(int index, E e){

        if(index < 0 || index > size)
            throw new IllegalArgumentException("Add failed. Require index >= 0 and index <= size.");

        if(size == data.length)
            resize(2 * data.length);

        for(int i = size - 1; i >= index ; i --)
            data[i + 1] = data[i];

        data[index] = e;

        size ++;
    }

    // 向所有元素后添加一个新元素
    public void addLast(E e){
        add(size, e);
    }

    // 在所有元素前添加一个新元素
    public void addFirst(E e){
        add(0, e);
    }

    // 获取index索引位置的元素
    public E get(int index){
        if(index < 0 || index >= size)
            throw new IllegalArgumentException("Get failed. Index is illegal.");
        return data[index];
    }

    // 修改index索引位置的元素为e
    public void set(int index, E e){
        if(index < 0 || index >= size)
            throw new IllegalArgumentException("Set failed. Index is illegal.");
        data[index] = e;
    }

    // 查找数组中是否有元素e
    public boolean contains(E e){
        for(int i = 0 ; i < size ; i ++){
            if(data[i].equals(e))
                return true;
        }
        return false;
    }

    // 查找数组中元素e所在的索引，如果不存在元素e，则返回-1
    public int find(E e){
        for(int i = 0 ; i < size ; i ++){
            if(data[i].equals(e))
                return i;
        }
        return -1;
    }

    // 从数组中删除index位置的元素, 返回删除的元素
    public E remove(int index){
        if(index < 0 || index >= size)
            throw new IllegalArgumentException("Remove failed. Index is illegal.");

        E ret = data[index];
        for(int i = index + 1 ; i < size ; i ++)
            data[i - 1] = data[i];
        size --;
//这里不置为空也可以,因为用户访问不到,如果不置为空,我data[size]这个位置仍然是刚刚最后的一个元素,因为删除元素的时候只是将后一位元素的值赋值给前一位元素,并没有删除最后一位
        data[size] = null; // loitering objects != memory leak

        if(size == data.length / 2)
            resize(data.length / 2);
        return ret;
    }

    // 从数组中删除第一个元素, 返回删除的元素
    public E removeFirst(){
        return remove(0);
    }

    // 从数组中删除最后一个元素, 返回删除的元素
    public E removeLast(){
        return remove(size - 1);
    }

    // 从数组中删除元素e
    public void removeElement(E e){
        int index = find(e);
        if(index != -1)
            remove(index);
    }
    
    @Override
    public String toString(){

        StringBuilder res = new StringBuilder();
        res.append(String.format("Array: size = %d , capacity = %d\n", size, data.length));
        res.append('[');
        for(int i = 0 ; i < size ; i ++){
            res.append(data[i]);
            if(i != size - 1)
                res.append(", ");
        }
        res.append(']');
        return res.toString();
    }

    // 将数组空间的容量变成newCapacity大小
    private void resize(int newCapacity){

        E[] newData = (E[])new Object[newCapacity];
        for(int i = 0 ; i < size ; i ++)
            newData[i] = data[i];
        data = newData;
    }
}

2.动态数组复杂度分析

    当我addLast的时候,假设我不触发resize,那么他复杂度就是O(1),删除也是同理,但是我们要用最坏情况所以

• 增加元素O(n)
• 删除元素O(n)
• 根据元素下标修改元素O(1)
• 根据元素内容修改元素(需要遍历)O(n)
• 根据元素下标查找元素O(1)
• 根据元素内容查找元素(需要遍历)O(n)

 

 

 3.均摊复杂度

• 关于改变动态数组容量resize的时间复杂度不能考虑最坏的情况,引入均摊复杂度
• 不可能每一次添加元素或者删除元素都要触发resize方法！所以不能仅仅考虑最坏的情况

    假设数组容量capacity=8,每一次添加操作都添加到所有元素后，第9次addLast才能触发resize,总共进行8次复制(扩容)+原本8次addLast+最后一次addLast=17次基本操作,如果capacity=n,n+1从触发resize,总共进行2n+1次基本操作.平均每次addLast操作,进行了2次基本操作.所以addLast的均摊复杂度为O(1)

 

 ​​​​​​​

 

 4.复杂度震荡

    当我们数组满了的时候我们执行addLast,会触发扩容,将原本的数组容量变成2n,时间复杂度为O(n),然后这个时候我们执行removeLast,我们的判断是当前元素个数=数组容量/2的时候进行缩容,缩容为一半的长度,又变回n,这个时候又会触发缩容,时间复杂度为O(n),再调用addLast,又扩容.这种特殊情况就是复杂度震荡.

    造成这个原因是因为我们removeLast的时候太过激进,所以我们将删除元素缩容的条件改为当前元素个数=数组容量/4的时候才进行缩容一半.

 代码改进

    // 从数组中删除index位置的元素, 返回删除的元素
    public E remove(int index){
        if(index < 0 || index >= size)
            throw new IllegalArgumentException("Remove failed. Index is illegal.");

        E ret = data[index];
        for(int i = index + 1 ; i < size ; i ++)
            data[i - 1] = data[i];
        size --;
        data[size] = null; // loitering objects != memory leak

        if(size == data.length / 4 && data.length / 2 != 0)
            resize(data.length / 2);
        return ret;
    }