【算法系列之动态规划II】leetcode62.不同路径

62.不同路径

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一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

输入：m = 3, n = 7
输出：28

解决思路

1. m行n列，定义数组是new int[m][n]，最后一行最后一列的元素是 memo[m - 1][n - 1]

Java实现

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        //memo[m][n]: m行n列的可到达路径数
        int[][] memo = new int[m][n];
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            memo[i][0] = 1;
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            memo[0][i] = 1;
        }
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                memo[i][j] = memo[i - 1][j] + memo[i][j - 1];
            }
        }
        return memo[m - 1][n - 1];
    }
}

63. 不同路径 II

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一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

解决思路

1. 初始化的时候，因为默认值是0，所以当遇到obstacleGrid[i][0] == 1，停止初始化。
2. dp转化，还是上面的格子路径数+左边的格子路径数。当格子是障碍物的时候，设置为0。

Java实现

class Solution_LC63 {
    public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
        int m = obstacleGrid.length;
        int n = obstacleGrid[0].length;
        int[][] memo = new int[m][n];
        if (obstacleGrid[m - 1][n - 1] == 1 || obstacleGrid[0][0] == 1) {
            return 0;
        }
        for (int i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] == 0; i++) {
            memo[i][0] = 1;
        }
        for (int j = 0; j < n && obstacleGrid[0][j] == 0; j++) {
            memo[0][j] = 1;
        }

        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                if (obstacleGrid[i][j] == 0) {
                    memo[i][j] = memo[i - 1][j] + memo[i][j - 1];
                }
            }
        }
        return memo[m - 1][n - 1];
    }
}

343. 整数拆分

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给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回 你可以获得的最大乘积 。

输入: n = 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

解决思路

1. 定义数组：dp[i] 为正整数 i 拆分后的结果的最大乘积
2. 定义递推公式：将i拆分为i-j和j，比较j * dp[i - j]和j * (i - j)，dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j * (i - j), j * dp[i - j]));

Java实现

class Solution_LC343_II {
    public int integerBreak(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[2] = 1;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i - j; j++) {
                //dp[j]*(i-j),
                dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j * (i - j), j * dp[i - j]));
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

96.不同的二叉搜索树

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给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

输入：n = 3
输出：5

解决思路

1. n=1，只有一颗搜索树；n=2，有两颗搜索树；n=3，可以分为dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2]。
2. 当n=3，可以分为左子树为0和右子树为2的情况；左子树为1，右子树为1的情况，左子树为2，右子树为0的情况。
3. 第i个节点，选择j作为根节点，还有i-1个节点由左右子树分配。左子树的节点数可以从0到i-1个。

Java实现

class Solution_LC96 {
    public int numTrees(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                //对于第i个节点，需要考虑1作为根节点直到i作为根节点的情况，所以需要累加
                //一共i个节点，对于根节点j时,左子树的节点个数为j-1，右子树的节点个数为i-j
                dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}