【创作赢红包】求最大公因数与最小公倍数

什么是最小公因数

最大公约数(Greatest Common Divisor)指两个或多个整数共有约数中最大的一个。也称最大公因数、最大公因子,a, b的最大公约数记为(a,b),同样的,a,b,c的最大 公约数记为(a,b,c),多个 整数的最大公约数也有同样的记号。求最大公约数有多种 方法,常见的有 质因数分解法、 短除法、 辗转相除法、 更相减损法。

辗转相除法求最小公因数

用(a,b)表示a和b的最大公因数:有结论(a,b)=(a,ka+b),其中a、b、k都为自然数。

也就是说,两个数的最大公约数,将其中一个数加到另一个数上,得到的新数,其公约数不变,比如(4,6)=(4+6,6)=(4,6+2×4)=2.

要证明这个原理很容易:如果p是a和ka+b的公约数,p整除a,也能整除ka+b.那么就必定要整除b,所以p又是a和b的公约数,从而证明他们的最大公约数也是相等的.

基于上面的原理,就能实现我们的迭代相减法:(78,14)=(64,14)=(50,14)=(36,14)=(22,14)=(8,14)=(8,6)=(2,6)=(2,4)=(2,2)=(0,2)=2

基本上思路就是大数减去小数,一直减到能算出来为止,在作为练习的时候,往往进行到某一步就已经可以看出得值.

迭代相减法简单,不过步数比较多,实际上我们可以看到,在上面的过程中,由(78,14)到(8,14)完全可以一步到位,因为(78,14)=(14×5+8,14)=(8,14),由此就诞生出我们的辗转相除法.

即:(a, b) = (a % b, b) = (b, a %b)

相当于每一步都把数字进行缩小,等式右边就是每一步对应的缩小结果。

对(a, b)连续使用辗转相除,直到小括号内右边数字为0,小括号内左边的数就是两数最大公约数。

代码实现

import java.util.*;
public class Main{
    public static void main(String[] args){
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        int T = scan.nextInt();
        while(T --> 0){
            int a = scan.nextInt();
            int b = scan.nextInt();
            System.out.println(gcd(a,b));
        }
    }
    public static int gcd(int a,int b){
        return b!=0 ? gcd(b,a%b):a;
    }
}

最小公倍数

与最大公因数类似,只是把约数换成了倍数

求最小公倍数

十分简单,我们只需知道简单的一个定理,两个数的最小公倍数就等于两个数的乘积/他们的最大公因数

a * b / gcd(a,b)

例题

小张是软件项目经理,他带领 33 个开发组。

工期紧,今天都在加班呢。

为鼓舞士气,小张打算给每个组发一袋核桃(据传言能补脑)。

他的要求是:

  1. 各组的核桃数量必须相同
  2. 各组内必须能平分核桃(当然是不能打碎的)
  3. 尽量提供满足 1,21,2 条件的最小数量(节约闹革命嘛)

输入格式

包含 a,b,c 三个正整数,表示每个组正在加班的人数。

输出格式

一个正整数,表示每袋核桃的数量。

数据范围

0

输入样例1:

2 4 5

输出样例1:

20

输入样例2:

3 1 1

输出样例2:

3

代码实现

import java.util.*;
public class Main{
    public static void main(String[] args){
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        int a = scan.nextInt();
        int b = scan.nextInt();
        int c = scan.nextInt();
        int a_b = a * b / gcd(a,b);
        int a_b_c =a_b * c / gcd(a_b,c);
        System.out.println(a_b_c);
    }
    public static int gcd(int a,int b){
        return b != 0 ? gcd(b , a % b) : a;
    }
}

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