2020牛客国庆集训派对day3 I.Rooted Tree(哈代-拉马努金拆分数列)

2020牛客国庆集训派对day3 I.Rooted Tree(哈代-拉马努金拆分数列)

题目

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/7830/I

题意

给你n个点，问你最多可以生成多少个不同构的树。这个树的深度最多为2.

题解

首先我们暴力模拟一下情况。
n = 1 时 ans = 1
n = 2 时 ans = 1
n = 3 时 ans = 2
n = 4 时 ans = 3
n = 5 时 ans = 5
n = 6 时 ans = 7
n = 7 时 ans = 11
n = 8 时 ans = 15
n = 9 时 ans = 22
n = 10 时 ans = 30
n = 11 时 ans = 42
n = 12 时 ans = 56
n = 13 时 ans = 77.
肯定有人就会问了，请问你是怎么暴力的呢？
哈哈哈哈哈哈哈
那我说一下我手动暴力的方法把。
拿n = 8来举例。
首先需要一个点作为根节点，所以剩下的点为7个。
然后我们去分配7个点。
方法如下：

1 1 1 1 1 1 1（一个节点连接7个只有一个节点的点）
1 1 1 1 1 2（一个节点连接5个只有一个节点的点，和一个有2个节点的点）
1 1 1 1 3
1 1 1 2 2
1 1 1 4
1 1 2 3
1 2 2 2
1 1 5
1 2 4
1 3 3
2 2 3
1 6
2 5
3 4
7 （有7个节点的点）
http://blog.sina.com.cn/s/blog_71942ef00102zgd7.html

好了，接下来我们得到了这样的数列：
1 1 2 3 5 7 11 15 22 30 42 56 77 …
是不是完全看不出这样的数列有什么规律呢？
接下来科普一下哈代-拉马努金拆分数列
令T(0) = 1
T(1) = T(0) = 1;
T(2) = T(1) + T(0) = 2
T(3) = T(2) + T(1) = 3
T(4) = T(3) + T(2) = 5
T(5) = T(4) + T(3)-T(0) = 7
T(6) = T(5) + T(4)-T(1) = 11
T(7) = T(6) + T(5)-T(2)-T(0)= 15
T(8) = T(7) + T(6)-T(3)-T(1)= 22
T(9) = T(8) + T(7)-T(4)-T(2)= 30
T(10) = T(9) + T(8)-T(5)-T(3)= 42

公式来源：

那我们拿到了这个公式，可是这个公式有什么规律呢？
我们把公式减去的常数，形成一个新的数列：
1 2 5 7 12 15 22 26 35 40
既然是拆分数列，那么我们可以把这个数列拆分一下
f(x) = 1 5 12 22 35 …
和
g(x) = 2 7 15 36 40 …
先观察f(x)，我们可以发现这是个每两个数的差值是公差为3等差数列
f(x)每两个数的差值4 7 10 13
再观察g(x)，我们也可以发现这是个每两个数的差值是公差为3等差数列
g(x)每两个数的差值5 8 11 14
我们通过设一元二次方程就可以算出f(x)和g(x)的公式：
f[i] = (3* i² - i) / 2;
g[i] = (3* i² + i) / 2;
那么我们就可以写代码啦！

AC代码

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N = 500005, mod = 998244353;
ll f[N], g[N], dp[N];
int n;

int main()
{
	scanf("%d", &n);
	--n;
	for (ll i = 1; i <= n; ++i) f[i] = i * (3*i - 1) / 2;
	for (ll i = 1; i <= n; ++i) g[i] = i * (3*i + 1) / 2;
	dp[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		for (int j = 1; f[j] <= i; ++j)
		{
			if (j % 2==1)
			{
				dp[i] += dp[i - f[j]];
				if (g[j] <= i) dp[i] += dp[i - g[j]];
			}
			else
			{
				dp[i] -= dp[i - f[j]];
				if (g[j] <= i) dp[i] -= dp[i - g[j]];
			}
		}
		dp[i] %= mod;
		if (dp[i] < 0) dp[i] += mod;
	}
	printf("%lld\n", dp[n]);
	return 0;
}