【python】计算偏度和峰度

本篇博文，首发在AIexplore微信公众号，内容总体相同，均为原创，特此申明。

0.教程代码环境

# 其他环境也可以，不一定非要一样
python 3.6
numpy 1.19.3
matplotlib 3.2.1
scipy 1.4.1

1.偏度

定义：偏度（skewness），是统计数据分布偏斜方向和程度的度量，或者说是统计数据分布非对称程度的数字特征。

说人话：偏度或偏态系数或偏度系数（Skewness）用来度量分布是否对称，一个分布如果不对称，则被称为偏度。

分布分为三种：对称分布（正态分布）、正偏分布（右偏分布）、负偏分布（左偏分布）
对称分布的特点：左右对称，均值 = 中位数 = 众数，偏度 = 0
正偏分布的特点：右侧长尾，均值 ＞中位数 ＞众数，偏度 > 0
负偏分布的特点：左侧长尾，均值 < 中位数 < 众数，偏度 < 0

1.1 绘制三种分布图

1.1.1 使用python代码绘制正态分布：

代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats

# python 3.6
# numpy 1.19.3
# matplotlib 3.2.1
# scipy 1.4.1
def plot():
    """
    绘制标准的正态分布
    draw standard deviation normal distribution
    """
    mu = 0.0    # mean 均值
    sd = 1.0    # std 标准差
    x = np.linspace(mu - 4 * sd, mu + 4 * sd, 100) # x range
    y = stats.norm.pdf(x)
    plt.plot(x, y, "g", linewidth = 2)
    plt.grid(True)  # 显示网格线
    plt.show()


if __name__ == '__main__':
    plot()

分布图：

1.1.2 使用python代码绘制右偏分布：

代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats

# python 3.6
# matplotlib 3.2.1
# scipy 1.4.1
def plot():
    """
    绘制标准的正偏分布
    """
    mu = 0.0    # mean 均值
    sd = 1.0    # std 标准差
    x = np.linspace(mu - 3 * sd, mu + 5 * sd, 100) # x range
    y = stats.norm.pdf(x)
    plt.plot(x, y, "g", linewidth = 2)
    plt.grid(True)  # 显示网格线
    plt.show()


if __name__ == '__main__':
    plot()

分布图：

1.1.3 使用python代码绘制左偏分布：

代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats

# python 3.6
# matplotlib 3.2.1
# scipy 1.4.1
def plot():
    """
    绘制标准的正偏分布
    """
    mu = 0.0    # mean 均值
    sd = 1.0    # std 标准差
    x = np.linspace(mu - 5 * sd, mu + 3 * sd, 100) # x range
    y = stats.norm.pdf(x)
    plt.plot(x, y, "g", linewidth = 2)
    plt.grid(True)  # 显示网格线
    plt.show()


if __name__ == '__main__':
    plot()        

分布图：

1.2 偏度计算

计算公式：

有的文章里面计算公式是这样的：

以上公式来自不同的出处，我不是学数学的，因此对这些内容没有太深入的研究（主要是我以前从来没遇到过，知识盲区；如果有学数学的朋友懂这方面知识，可以私聊我给我普及一下），我的理解是公式1和公式2应该没有对错之分，只是“选择”不同罢了（不知道对不对，如有大佬请在评论区修正），那我们计算偏度到底使用哪个公式呢？请继续阅读下文。

具体例子：
一组数据：arr = [1,4,6,8,10,20]

arr的均值和标准差我们使用numpy库直接进行计算 ：

均值：

import numpy as np

# arr = np.array([1,2,2,4,1])
# arr = np.array([3,6,3,9,10,12,36,3])
arr = np.array([1,4,6,8,10,20])

u = arr.mean()
print("均值:", u)

标准差：
标准差分为总体标准差（分母位n）和样本标准差（分母n-1）【为什么分为总体标准差和样本标准差，感兴趣的可以自己找资料研究，在此不深入说明了】

import numpy as np

# arr = np.array([1,2,2,4,1])
# arr = np.array([3,6,3,9,10,12,36,3])
arr = np.array([1,4,6,8,10,20])

# a = np.std(arr, ddof=1) # 无偏 分母n-1, 有偏 分母n
a = arr.std(ddof=1)       # ddof=1无偏，ddof=0有偏
print("标准差：", a)   

这里我们使用无偏的标准差（不要问为什么，因为用无偏的比较“好”，大家都是用的无偏）。

知道了均值和标准差，就可以带入公式计算偏度了。
那么问题来了，我们应该带入到哪个公式呢？下面我们分别带入到2个公式中，查看一下结果。

使用公式1：

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy import stats

# arr = np.array([1,2,2,4,1])
# arr = np.array([3,6,3,9,10,12,36,3])
arr = np.array([1,4,6,8,10,20])

n = len(arr)
u = arr.mean()
print("均值:", u)

# a = np.std(arr, ddof=1) # 无偏 分母n-1, 有偏 分母n
a = arr.std(ddof=1)       # ddof=1无偏，ddof=0有偏
print("标准差：", a)   


a1 = sum(((arr-u)/a)**3)
a2 = a1*n/((n-1)*(n-2))
print("偏度：", a2)

使用公式2：

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy import stats

# arr = np.array([1,2,2,4,1])
# arr = np.array([3,6,3,9,10,12,36,3])
arr = np.array([1,4,6,8,10,20])

n = len(arr)
u = arr.mean()
print("均值:", u)

# a = np.std(arr, ddof=1) # 无偏 分母n-1, 有偏 分母n
a = arr.std(ddof=1)       # ddof=1无偏，ddof=0有偏
print("标准差：", a)   


a1 = sum(((arr-u)/a)**3)
a2 = a1/n
print("偏度：", a2)

可以看到使用不同公式计算得到的偏度不同：
公式1得到的偏度：1.2737636108819756
公式2得到的偏度：0.7076464504899865

不同公式得到的偏度肯定是不一样的，那我们到底应该采用哪一个偏度值呢？下面我们使用python科学计算包直接计算偏度：

使用pandas计算：

import numpy as np
import pandas as pd

# arr = np.array([1,2,2,4,1])
# arr = np.array([3,6,3,9,10,12,36,3])
arr = np.array([1,4,6,8,10,20])

print("--------使用pandas计算偏度和峰度--------")
# pandas计算标准差是无偏的
data = pd.DataFrame(arr)
print("标准差：", data[0].std())
print("偏度：", data[0].skew())

可以看到，标准差6.5853372477547923，使用的是无偏标准差；偏度1.2737636108819759，和公式1计算的结果相同。从侧面验证了pandas库使用的是无偏标准差+公式1来计算偏度。

使用scipy计算：

import numpy as np
from scipy import stats

# arr = np.array([1,2,2,4,1])
# arr = np.array([3,6,3,9,10,12,36,3])
arr = np.array([1,4,6,8,10,20])

print("--------使用scipy计算偏度和峰度--------")
# scipy计算标准差，通过ddof控制有偏和无偏，ddof=1无偏，ddof=0有偏
print("标准差：", stats.tstd(arr, ddof=1))
d = stats.skew(arr, bias=False)     # bias默认为True
print("偏度：", d)

可以看到，标准差6.585337247754792，使用的是无偏标准差；偏度1.2737636108819756，和公式1计算结果、pandas库计算结果相同。再次验证了应该使用公式1来计算偏度。

2.峰度

定义：峰度（peakedness；kurtosis）又称峰态系数。表征概率密度分布曲线在平均值处峰值高低的特征数。
说人话：峰度反映了峰部的尖度，用来度量数据在中心聚集程度，峰度越大分布图越尖，峰度越小分布图越矮胖。

2.1 绘制三种不同峰度的分布图

代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats


def plot():
    """
    draw standard deviation normal distribution
    """
    mu = 0.0    # mean
    sd1 = 1.0    # std
    sd2 = 2.0
    sd3 = 3.0

    # red line
    x = np.linspace(mu - 3 * sd1, mu + 3 * sd1, 50) # x range
    y = stats.norm.pdf(x)
    plt.plot(x, y, "r", linewidth = 2)

    # green line
    x2 = np.linspace(mu - 6 * sd1, mu + 6 * sd1, 50) # x range
    y2 = stats.norm.pdf(x2, mu, sd2)
    plt.plot(x2, y2, "g", linewidth = 2)

    # blue line
    x3 = np.linspace(mu - 10 * sd1, mu + 10 * sd1, 50) # x range
    y3 = stats.norm.pdf(x3, mu, sd3)
    plt.plot(x3, y3, "b", linewidth = 2)

    plt.grid(True)  # 显示网格线
    plt.show()

if __name__ == '__main__':
    plot()

分布图：
相同均值，不同标准差的正态分布曲线

红色线条标准差是1，绿色线条标准差是2，蓝色线条标准差是3。
标准差越小，曲线越陡
标准差越大，曲线越平缓
红色线条：尖峰
绿色线条：中锋
蓝色线条：低峰

对于正态分布来说峰度=3，部分统计软件会给出超额峰度，超额峰度=峰度-3。
中锋分布的超额峰度=0， 尖峰分布的超额峰度＞0，低峰分布的超额峰度＜0。

2.2 峰度计算

峰度的计算公式，我也看到好几个版本，我想应该和偏度的计算类似，因此不再纠结它的计算公式，直接使用pandas或scipy进行计算。

代码：

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy import stats

# arr = np.array([1,2,2,4,1])
# arr = np.array([3,6,3,9,10,12,36,3])
arr = np.array([1,4,6,8,10,20])

print("--------使用scipy计算偏度和峰度--------")
# scipy计算标准差，通过ddof控制有偏和无偏，ddof=1无偏，ddof=0有偏
print("标准差：", stats.tstd(arr, ddof=1))
d = stats.skew(arr, bias=False)     # bias默认为True
print("偏度：", d)
e = stats.kurtosis(arr, bias=False) # bias默认为True
print("峰度：", e)

print("--------使用pandas计算偏度和峰度--------")
# pandas计算标准差是无偏的
data = pd.DataFrame(arr)
print("标准差：", data[0].std())
print("偏度：", data[0].skew())
print("峰度：", data[0].kurt())

结果：

3.整体代码

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy import stats

# arr = np.array([1,2,2,4,1])
# arr = np.array([3,6,3,9,10,12,36,3])
arr = np.array([1,4,6,8,10,20])

print("--------使用scipy计算偏度和峰度--------")
# scipy计算标准差，通过ddof控制有偏和无偏，ddof=1无偏，ddof=0有偏
print("标准差：", stats.tstd(arr, ddof=1))
d = stats.skew(arr, bias=False)     # bias默认为True
print("偏度：", d)
e = stats.kurtosis(arr, bias=False) # bias默认为True
print("峰度：", e)

print("--------使用pandas计算偏度和峰度--------")
# pandas计算标准差是无偏的
data = pd.DataFrame(arr)
print("标准差：", data[0].std())
print("偏度：", data[0].skew())
print("峰度：", data[0].kurt())

print("--------自己通过代码计算偏度和峰度，方式 1--------")
n = len(arr)
u = arr.mean()
print("均值", u)

# a = np.std(arr, ddof=1) # 无偏 分母n-1, 有偏 分母n
a = arr.std(ddof=1)       # ddof=1无偏，ddof=0有偏
print("标准差：", a)   

a1 = sum(((arr-u)/a)**3)
a2 = a1*n/((n-1)*(n-2))
print("偏度：", a2)

print("--------自己通过代码计算偏度和峰度，方式 2--------")
list_v = []
for v in arr:
    # print(v)
    q = (v-u)**3
    list_v.append(q)

b1 = sum(list_v)
b2 = b1/(a**3)
b3 = b2*n/((n-1)*(n-2))
print("偏度：", b3)

4.附录

我们也可以使用Excel直接计算一组数据的偏度和峰度。

Excel中的数据如下：

计算A1、A2、A3、A4、A5、A6数据的偏度和峰度。

偏度计算公式：=SKEW(A1:A6)
峰度计算公式：=KURT(A1:A6)

偏度1.2737，再一次验证了使用无偏标准差和公式1计算；峰度2.1546。

参考资料：

1. https://blog.csdn.net/weixin_36236293/article/details/102632084
2. https://zhidao.baidu.com/question/133028474.html
3. https://blog.csdn.net/qq_36523839/article/details/88671873
4. https://zhuanlan.zhihu.com/p/346810231
5. https://zhuanlan.zhihu.com/p/84614017