前缀、中缀、后缀表达式计算和转化算法详解
前缀、中缀和后缀表达式
本页博客参考：https://www.cnblogs.com/zzliu/p/10801113.html、百度百科
概述
前缀、中缀、后缀表达式是对表达式的不同记法，其区别在于运算符相对于数字的位置不同，前缀表达式的运算符位于操作数之前，中缀和后缀同理
如：
中缀表达式：1 + (2 + 3) × 4 - 5
前缀表达式：- + 1 × + 2 3 4 5
后缀表达式：1 2 3 + 4 × + 5 -
中缀表达式是人们最常用的算术表示方法，人脑很容易理解，但对计算机来说很复杂，因为要判断计算的优先级太过繁琐。对计算机来说，计算前缀或后缀表达式的值非常简单。
中缀转换为前缀、后缀
以1+(2+3)*4-5为例
转为前缀：
先根据计算的优先级加上括号。
然后将运算符从优先级最低的括号移到该括号外，并删去括号
- ((1+((2+3)×4))-5)
- -(1+((2+3)×4))5
- -+1((2+3)×4)5
- -+1×(2+3)45
- -+1×+2345
或 先根据计算的优先级加上括号，然后将每个运算符移到其所在最内部的括号前面，最后一次性删除括号
- ((1+((2+3)×4))-5)
- -(+(1×(+(23)4))5)
- -+1×+2345
转为后缀：
同理，也是先加上括号，然后将运算符移动到其所在最内部的括号后面，删除括号
- ((1+((2+3)×4))-5)
- ((1((23)+4)×)+5)-
- 123+4×+5-
前中后缀在计算机中的计算与转换
前缀计算
- 从右至左扫描表达式
- 遇到数字时，将数字压栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，计算并将结果入栈
- 重复2直到表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果
例：
计算前缀表达式的值：- + 1 × + 2 3 4 5
- 从右至左扫描，将5，4，3，2压入堆栈；
- 遇到+运算符，弹出2和3（2为栈顶元素，3为次顶元素），计算2+3的值，得到5，将5压入栈；
- 遇到×运算符，弹出5和4，计算5×4的值，得到20，将20压入栈；
- 遇到1，将1压入栈；
- 遇到+运算符，弹出1和20，计算1+20的值，得到21，将21压入栈；
- 遇到-运算符，弹出21和5，计算21-5的值，得到16为最终结果
后缀计算
与前缀表达式类似，只是顺序是从左至右：
- 从左至右扫描表达式
- 遇到数字时，将数字压栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，计算并将结果入栈
- 重复2直到表达式最右端，最后运算得出的值即为表达式的结果
示例：
计算后缀表达式的值：1 2 3 + 4 × + 5 -
- 从左至右扫描，将1，2，3压入栈；
- 遇到+运算符，3和2弹出，计算2+3的值，得到5，将5压入栈；
- 遇到4，将4压入栈
- 遇到×运算符，弹出4和5，计算5×4的值，得到20，将20压入栈；
- 遇到+运算符，弹出20和1，计算1+20的值，得到21，将21压入栈；
- 遇到5，将5压入栈；
- 遇到-运算符，弹出5和21，计算21-5的值，得到16为最终结果
代码实现：点击查看
中缀转换为前缀（百度百科）
转换算法
(1) 首先构造一个运算符栈(也可放置括号)，运算符(以括号为分界点)在栈内遵循越往栈顶优先级不降低的原则进行排列。
(2)从右至左扫描中缀表达式，从右边第一个字符开始判断：
如果当前字符是数字，则分析到数字串的结尾并将数字串直接输出。
如果是运算符，则比较优先级。如果当前运算符的优先级大于等于栈顶运算符的优先级(当栈顶是括号时，直接入栈)，则将运算符直接入栈；否则将栈顶运算符出栈并输出，直到当前运算符的优先级大于等于栈顶运算符的优先级(当栈顶是括号时，直接入栈)，再将当前运算符入栈。
如果是括号，则根据括号的方向进行处理。如果是向右的括号，则直接入栈；否则，遇向左的括号前将所有的运算符全部出栈并输出，遇右括号后将向左、向右的两括号一起出栈(并不输出)。
(3) 重复上述操作(2)直至扫描结束，将栈内剩余运算符全部出栈并输出，再逆缀输出字符串。中缀表达式也就转换为前缀表达式了。
实例分析
将中缀表达式“1+((2+3)*4)-5”转换为前缀表达式。
| 中缀表达式 | 前缀表达式 | （栈尾）运算符栈（栈顶） | 说明 |
|---|---|---|---|
| 5 | 5 | 空 | 5，是数字串直接输出 |
| - | 5 | - | -，栈内无运算符，直接入栈 |
| ） | 5 | -） | )，直接入栈 |
| 4 | 5 4 | -） | 4，是数字串直接输出 |
| * | 5 4 | -）* | *，栈顶是括号，直接入栈 |
| ) | 5 4 | - ) * ) | )，直接入栈 |
| 3 | 5 4 3 | - ) * ) | 3，是数字串直接输出 |
| + | 5 4 3 | - ) * ) + | +，栈顶是括号，直接入栈 |
| 2 | 5 4 3 2 | - ) * )+ | 2，是数字串直接输出 |
| ( | 5 4 3 2+ | - ) * | (，与栈里最后一个）抵消，并释放它们之间的+ |
| ( | 5 4 3 2+* | - | (，方法与上类同，请参考下一目录 |
| + | 5 4 3 2+* | -+ | +，优先级大于等于栈顶运算符，直接入栈 |
| 1 | 5 4 3 2+*1 | -+ | 1，是数字串直接输出 |
| 空 | 5 4 3 2+*1± | 空 | 扫描结束，将栈内剩余运算符全部出栈并输出 |
| 空 | - + 1 * + 2 3 4 5 | 空 | 逆缀输出字符串 |
中缀转换为后缀（百度百科）
算法实现
将一个普通的中缀表达式转换为逆波兰表达式的一般算法是：
首先需要分配2个栈，一个作为临时存储运算符的栈S1（含一个结束符号），一个作为存放结果（逆波兰式）的栈S2（空栈），S1栈可先放入优先级最低的运算符#，注意，中缀式应以此最低优先级的运算符结束。可指定其他字符，不一定非#不可。从中缀式的左端开始取字符，逐序进行如下步骤：
（1）若取出的字符是操作数，则分析出完整的运算数，该操作数直接送入S2栈。
（2）若取出的字符是运算符，则将该运算符与S1栈栈顶元素比较，如果该运算符(不包括括号运算符)优先级高于S1栈栈顶运算符（包括左括号）优先级，则将该运算符进S1栈，否则，将S1栈的栈顶运算符弹出，送入S2栈中，直至S1栈栈顶运算符（包括左括号）低于（不包括等于）该运算符优先级时停止弹出运算符，最后将该运算符送入S1栈。
（3）若取出的字符是“（”，则直接送入S1栈顶。
（4）若取出的字符是“）”，则将距离S1栈栈顶最近的“（”之间的运算符，逐个出栈，依次送入S2栈，此时抛弃“（”。
（5）重复上面的1~4步，直至处理完所有的输入字符。
（6）若取出的字符是“#”，则将S1栈内所有运算符（不包括“#”），逐个出栈，依次送入S2栈。
完成以上步骤，S2栈便为逆波兰式输出结果。不过S2应做一下逆序处理。便可以按照逆波兰式的计算方法计算了！
实例分析
下面以(a+b)*c为例子进行说明：
(a+b)c的逆波兰式为ab+c，假设计算机把ab+c按从左到右的顺序压入栈中，并且按照遇到运算符就把栈顶两个元素出栈，执行运算，得到的结果再入栈的原则来进行处理，那么ab+c的执行结果如下：
1）a入栈（0位置）
2）b入栈（1位置）
3）遇到运算符“+”，将a和b出栈，执行a+b的操作，得到结果d=a+b，再将d入栈（0位置）
4）c入栈（1位置）
5）遇到运算符“”，将d和c出栈，执行dc的操作，得到结果e，再将e入栈（0位置）
经过以上运算，计算机就可以得到(a+b)*c的运算结果e了。