欧拉函数:求小于等于n且与n互质的数的个数

求小于等于n且与n互质的数的个数

互质穷举法

  1. 互质:两个数互质代表两者最大公约数为1
  2. 最大公约数求法:辗转相除法,最小公倍数:较大值除以最大公约数乘以较小值
  3. 辗转相除法:
    1. 较大的数a取模较小的数b,得取模值c
    2. 若取模值等于0 则最大公约数为取模值,否则继续下一步
    3. a与c再次取模,回到第二步
    //求最大公约数gcd以及最大公倍数lcm
     // 36 24 36/24
     // 24 12 24/12
     // 0 结束最大公约数为12
     // 求最小公倍数
     // lcm(a, b) = (a * b)/gcd(a, b)
     public static int gcd(int a, int b){
         //a>=b
         //辗转相除法
         if (b==0){
             return a;
         }
         return gcd(b,a%b);
     }
    
  4. 穷举到n,一一判断该数与n的最大公约数是否为1,即是否为互质

结论:可以实现,但时间复杂度太高

采取欧拉函数进行求取

在数论,对正整数n,欧拉函数是小于等于n的正整数中与n互质的数的数目.

n为正整数n,p1、p­­­­2 ……pn 为正整数n的质因数

n的质因数:既是n的因数,又是质数的数

计算方法:
ϕ ( n ) = n × ( p 1 − 1 p 1 ) × ( p 2 − 1 p 2 ) ⋯ × ( p n − 1 p n ) \phi (n) = n \times (\frac{p_1-1}{p_1})\times (\frac{p_2-1}{p_2})\cdots\times (\frac{p_n-1}{p_n}) ϕ(n)=n×(p1p11)×(p2p21)×(pnpn1)
例:
ϕ ( 10 ) = 10 × 1 2 × 4 5 = 4 \phi (10) = 10 \times \frac{1}{2}\times \frac{4}{5} = 4 ϕ(10)=10×21×54=4

  1. 质数的求法:因数只有1和其本身
    1. 单个质数n的判断

      依次判断2到$ \sqrt{n} $的数被n取模的值是否等于零,存在任意一个即不为质数

      当p大于 n \sqrt{n} n 时,代表数p一定可以得到一个小于! n \sqrt{n} n 的数和一个大于 n \sqrt{n} n 的成对因数,不为质数

    2. 从2到n的质数的判断

      非穷举,穷举时间复杂度为O(n),使用素数筛法为O( log ⁡ n \log_{}{n} logn)

      为保证效率,质数为false,合数为true

      1. 标记2到n的数都为质数,为false,布尔数组默认值为false,无需再一一标记

      2. 从2开始标记数,找到第一个为false的数p

      3. 标记数p的倍数为合数,即为true,倍数标记从 p × p p \times p p×p 开始,直至数p等于$ \sqrt{n} $,结束标记

        原因:

        p的倍数的因数必有p,不符合质数条件,每次从 p × p p \times p p×p 开始标记是由于 p − p p-p pp的部分已经进行了标记,不再重复标记,

  1. 使得下一个数p 为未被标记为合数的数,即数值仍为false的数,重复第三步

  2. 将标记为false 的,即为质数的全部输出

  1. 采取素数筛法求取质数时,可将倍数标记的操作修改为乘以(1-1/p),使得每一个数都能乘以其质因数

欧拉函数:求小于等于n且与n互质的数的个数_第1张图片

  1. 依次存入数组中,最后统一依次输出结果。
public static int f1(int n){
        int res = n;
        for (int i = 2;i*i<=n;i++){
            if (n % i==0){
                res = res / i*(i-1);//res/i
                while (n % i == 0){
                    n/=i;
                }
            }
        }
        if (n>1){
            res = res/n*(n-1);
        }
        return res;
    }
    //区间内欧拉函数取值
    public static int[] f2(int n){
        int[] count = new int[n+1];
        for (int i = 1;i <= n;i++){
            count[i]=i;
        }
        for (int i =2 ;i <= n;i++){
            if (count[i] == i){
                for (int j = i;j <= n;j+=i){
                    count[j] = count[j]/i*(i-1);
                }
            }
        }
        return count;
    }

知识点:

  1. 最大公约数、最小公倍数

  2. 单一质数判断

  3. 质数筛法:埃氏筛法

  4. 欧拉函数

欧拉函数:求小于等于n且与n互质的数的个数_第2张图片

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