原创八：认识无理数

记北师版八上数学教材第二章第一节《认识无理数》

课本上将本课内容分为两个课时，第一课时主要是感受无理数的必要性和广泛性；第二课时主要是研究无理数的小数表示，感受无限不循环。

实际教学中，笔者从知识的完整性、系统性出发，将习题删减，把两课时合为一课时，同时把下一节《平方根》部分内容前置。课堂上从存在、表示、数值、历史、常见类型五个方面对无理数进行了探究。

一、教学目标

认识无理数，在探究过程中感受无理数的存在性、无限不循环性，学会无理数的表示和常见类型，了解无理数的命名历史。

二、教学重难点

重点：感受理数的存在性和无限不循环。

难点：通过夹逼法把无理数表示成小数形式

三、教学流程

1.拼图，发现新数

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学生将两个面积为1的正方形正方形剪拼，得到一个面积为2的大正方形。那么这个大正方形的边长是多少呢？把这个实际问题抽象成数学问题：两直角边长为的直角三角形，它的斜边是多少？学生感觉一时找不到这样的数，可根据勾股定理先用“a²=2”来表述，那么a是什么数呢？

回顾学生已经学过的数——有理数，定义为：把整数和分数统称为有理数。有学生提到小数，这里应及时说明我们已经学过的小数和百分数都属于分数。考虑整数的平方还是整数，分数（最简分数）的平方也还是分数。而a²=2 ,a既不是整数（2不是平方数）也不是分数（2不是分数），也就是说a不是有理数，是一种区别于之前所学的“新数”。

2.多维度探究“新数”

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（1）存在性

a²=2中，a不是有理数，同样的，a²=3，a²=5，a²=7……中的a也不是有理数，可以感受到，类似这样的数确实存在，且大量存在。

（2）表示

既然有了上述的“新数”，接下来就需要将这种新数表示出来。这样的设计符合学生的认知规律，且与之前学习新知的顺序一致。“如果一个正方形面积为2, 那么这个正方形的边长就记作√2”。类似的还有√3, √5 等等。

（3）数值

有了√2这种表示，下面要关注的就是√2到底有多大的问题。

易得1<√2<2，学生有两种方法：1<2<4，所以1<√2<2；或观察图形

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在直角三角形中，斜边大于直角边，

两边之和大于第三边，得1<√2<2。

接下来怎样进一步刻画√2的大小呢？

这里引入“夹逼法”——把2夹在中间，步步逼近。

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具体地，在1到2之间，首先用二分法，计算1.5²，2.25＞2, 再算1.4²，1.96＜2, 因此√2在1.4到1.5之间。再来观察数值，从绝对值的角度讲，1.96比2.25更接近2， 因此√2更接近1.4. 计算1.41²发现＜2. 再算1.42²发现＞2,于是√2在1241到1.42之间……同理继续。

教师提问：这样的操作可以一直做下去吗？有没有尽头？

学生有困惑，毕竟这样的极限思想是学生首次接触。

教师引导：我们可以感受到用这种“夹逼”的方法，2两边的数字最终都十分靠近2. 然而十分靠近就一定能达到2吗？比如1.9999很接近2, 但是还有1.999……9（一百个、一万个个9）,这样的数字更接近2。如果是1.999……9（一亿个，十亿个9,甚至“无数”个9）,由于9的个数可以是无数个,对于1.999……9这样的数，它可以无限接近2，但永远不等于2。用夹逼法可以无限逼近，因此√2是一个无限小数。

同时在夹逼的过程中，我们可以感受到小数部分的数字排列是没有规律可循，也没有循环周期的，因此√2是一个无限不循环小数。

我们把 无限不循环小数称为无理数。

出“无理数”定义，书写标题。

（4）“无理数”的名称来由（历史）

事实上，“无理数”不是没有道理的数，而是由于翻译的讹误。原来，“有理数”中的“有理“一词，英文是 Rational，这个词本来有两个含义，其一是“比”，其二是“合理”。按数学上的原义，整数和分数都可以表成两整数之比，“有理数”叫做“比数”是很确切的．但日本学者在十九世纪翻译西方的数学书时，把这个词译成了“有理数”，后来“有理数”和“无理数”这两个词传回中国，长期应用到现在，没法改，也不必改了。

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事实上，有理数的真正定义是：给出整数p,q,q不等于0,分数p/q代表有理数。

常见的分数本身就是p/q的形式，整数可以写成p/1，有限小数易化成分数形式，而对于有限循环小数也可以用如下的方式化成分数形式：

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而√2没法写成p/q的形式，√2是无理数。

（5）常见无理数类型

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参考文献：

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