交叉协方差

协方差交叉（Covariance Intersection, CI）最早由J. Julier 和 K. Uhlmann在“A non-divergent estimation algorithm in the presence of unknown correlations”一文中提出来的。它解决的是包含误差的数据融合问题。比如两个传感器测量同一个目标，得到了两个不同的测量值A和B，那么目标的最佳估计值C可以通过A和B加权得到。如何计算权值使得C的估计误差最小？

如果A和B是不相关的，那么可以用卡尔曼滤波进行融合。如果A和B的相关性未知，那么就可以用协方差交叉CI来解决。
之所以称为协方差交叉。是因为测量值本身可能是一个多状态的矢量，因此A和B各有一个协方差矩阵。数据融合过程就是这两个协方差矩阵的“交叉”。
 

协方差交方法(CI方法)是一种多传感器数据估计融合方法，假设两个传感器，分别对同一个参数x有两个无偏估计a和b，也许这两个传感器是互补的，即单独用a或者b效果不如某种融合的方式f(a,b)好，如何去融合取决于两个传感器估计的相关性。

比如极端情况a和b一模一样，那其实没有带来提升，如果知道相关性，在一定假设下是存在最优融合的，但很多时候我们都不知道传感器估计间的相关性，于是我们就希望保守一点，那就是希望对所有可能的相关性考虑一种合理的融合方式。CI方法假设我们采用线性组合的融合方式，即k1a+k2b,(k1+k2=1)来作为最后结果，a单独对x估计存在一个估计方差pa, b单独对x估计存在一个估计方差pb，真实的方差也许不知道，但是我们可能知道pa和pb的一个上界upa和upb，那么现在我们用k1a+k2b来估计x也存在一个方差pc，也许不知道，但我们利用k1,k2,upa,upb可以找到其一个上界upc,我们希望这个上界在某个准则下越小越好，比如极小化trace(upc)，解这个优化问题最后可以得到k1和k2，以及此时的上界upc,它就是CI方法给出的加权融合结果。

从协方差的逆矩阵作为形状矩阵的椭球来看，首先upa,upb各对应一个椭球，而我们融合后的k1a+k2b的协方差上界upc也对应一个椭球，按理说最优融合后的效果一定是大于等于融合前的，也就是融合后估计误差协方差矩阵upc一定是小于等于upa和upb的，对应地，upc的逆矩阵就是大于等于upa的逆和upb的逆的，从而upc对应的椭球是包含于upa和upb各自对应的椭球内的，相应地，就包含于upa和upb各自对应的椭球的交，但是要获得最优融合的前提是已经知道传感器估计的相关性，但实际上并不知道，于是CI方法采用了一种保守的方式，那就是干脆找一个包含住upa和upb各自对应的椭球的交的最小椭球，特别地，形状矩阵形如w*upa^{-1}+(1-w)*(upb)^{-1}, w属于0到1之间。这样无论真实的相关性是哪种情况，CI方法对应的椭球都是极大概率地包含住了真实情况（类似3-sigma原理）

感兴趣进一步参考以下两篇文章，1是原始论文，2更容易看懂

1. A Non-divergent Estimation Algorithm in the Presence of Unknown Correlations

        2. Estimation Under Unknown Correlation: Covariance Intersection Revisited

协方差与协方差矩阵

协方差与协方差矩阵_xueluowutong的博客-CSDN博客_协方差矩阵

矩阵的迹和性质

定义：

 对于n*n阶方阵X而言，其主对角线的所有元素之和称之为X的迹，记为tr(X)，即:

 基本性质：

（1） tr(A) = tr(A')

（2） tr(kA) = k*tr(A) ,  

（3） tr(A+B) = tr(A) + tr(B)

（4） tr(AB)=tr(BA)

       前三个性质根据迹的定义很容易得证，下面我们来简单证明一下第四个性质。

       根据性质四可以得出一个推论，方阵的乘积和其任何循环置换的乘积会有相同的迹，称为迹的“循环性质”。例如，有三个方阵A、B、C，则：tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA)。

3. 有关偏导的性质

（1），证明如下：

（2），证明如下：

           在推导上式的过程中，用到了分布求导。如