普林斯顿微积分读本06第五章--连续性

接着上一次普林斯顿微积分读本05第四章--求解多项式的极限问题的高数学习继续往下。 

前言：

对于函数的图像，我们之前所学是要求它必须满足垂线检验对吧，这里并没有要求特别多，图像是可以散落四处的，那如果对函数图像要求略微多一点会发生什么：接下来我们要讨论两种类型的光滑性：

1、连续性：直觉上告诉我们，连续函数的图像必须能一笔画成；

2、可导性：直觉上，在可导函数的图像中不会出现尖角。

连续性：

先来讨论函数的连续性，如上面直观的感受，图像必须是能一笔画成的，比如：

但是对于y=1/x这样的函数：

很明显除了x=0外，f处处连续，因此：必须理解在一点处连续是什么意思，然后再考虑在更大的区域上的连续性。

在一点处连续：

概述：

我们以一个函数f和在x轴上其定义域中的点a开始，当我们画y = f(x)的图像时，想要在通过图像上的点（a, f(a)）时不提起笔，在其它地方提笔不要紧。这也就意味着我们想要一连串点(x, f(x))变得越来越接近于点 （a, f(a)），换言之，也就是当x -> a时，需要f(x) -> f(a)，其实也就是一个极限问题。这里给出一个在一点处连续的定义：

其中等式的两边必须都是有定义的：
如果极限不存在，那么f在点x=a处不连续；而如果f(a)不存在，代表都没有一个点（a, f(a)）可以让你通过。

其实对这个定义可以明确地要求以下三条成立：

1、双侧极限：

存在，并且是有限的；

2、函数在点x=a处有定义，既f(a)存在（并且是有限的）； 

3、以下两个量相等，既：

实践：

下面举几个例子，来对“在一点处连续” 的定义加深理解，当然让你来根据上面的定义判断以下是否在一点处连续：

例1：

很明显在x=a处的左右权限不相等，则双侧极限不存在，也就是不满足这个条件：

所以此函数在点x=a处不连续。

例2：

1、函数在x=a处的左右极限是一样的，也就是存在双侧极限，并且是有限的；

但是！！！函数在点x=a处木有定义：

所以不满足这个条件：

所以： 此函数在点x=a处不连续。

例3：

1、双侧极限存在；

2、在x=a处有定义；

但是！！！权限值和函数值不相等：

也就是不满足：

所以： 此函数在点x=a处不连续。

例4：

1、左右极限存在；

2、f(a)存在；

3、极限值和函数值相等；

所以，完全符合咱们的定义要求，所以函数在点x=a处连续。

在一个区间上连续：

(a，b)区间：

现在我们已经知道了在单点上连续的定义了，现在来把定义拓展到一个区间上来：

如果函数在区间（a，b）上的每一点都连续，那么就说它在该区间上连续。

注意：f实际上没有必要在端点x=a或x=b上连续【所以你可以看到上面描述的是a，b的开区间】。

比如：f(x) = 1 / x，它的图像为：

很明显f在(0, ∞)上连续，即使f(0)无定义，同时在(-∞，0）上也连续，但是！！！在区间(-2, 3)上是不连续的，因为0位于此区间内，f(0)在那里不连续。

[a，b]区间：

在上面我们讨论的是a至b的开区间的连续性，那如果像下面这个闭区间呢？

很明显双侧极限在端点x=a和x=b处不存在，因为点x=a只有一个右极限，而点x=b只有一个左极限，所以对于函数f在[a,b]上连续的定义就略加要进行修改了，如下：

1、函数f在(a,b)中的每一点都连续；注意：是开区间。

2、函数f在点x=a处右连续；既：

存在且有限，f(a)存在，并且这两个量相等，这也就是在一点处连续的定义。

3、函数f在点x=a处左连续；既：

存在且有限，f(b)存在，并且这两个量相等。

总结：

如果函数在其定义域上的所有点都连续，我们就说它是连续的；如果函数的定义域包括一个带有左端点和/或右端点的区间，那么在那里需要函数的单侧连续性。

连续函数的一些例子：

了解了函数连续的性质之后，接下来看一下连续函数的一些例子，有很多的常见函数其实都是连续的。 

每一个多项式都是连续的：

貌似这个不太好证明，这里先来看最最简单的这个函数：

证明定义为f(x) = 1的常数函数f，对于所有的x，在任意一点a处都连续。

也就是需要证明【这是在某点处连续的定义】：

由于对于任意的x都有f(x) = 1，并且f(a) = 1【因为a是任意x中的一员】，对于上面的这个待证明的式子咱们就又可变为：

所以现在只需要证明：

很明显是成立的，因为“常数的极限是它本身”，所以“f(x) = 1的常数函数f，对于所有的x，在任意一点a处都连续”得证。

那更进一步：

“设g(x) = x，证明g是连续的”

其实也就是需要证明：

由于g(x) = x，很明显g(a) = a，所以证明式子又可以简化为：

然后这式子是成立的，因为当x->a时，x也最终会趋向于a。

另外，还可以扩展如下几个结论：

1、一个连续函数的常数倍是连续的；

2、如果对两个连续函数做加法、减法、乘法或复合，会得到另一个连续函数；

3、当一个连续函数除以另一个连续函数的时候，除了分母为0的点外，商函数处处连续，比如1/x，除了x=0外，分子和分母都是为x的连续函数对吧。

回到多项式再来挖掘，因为g(x) = x是x的连续函数，可以让g和它自己相乘，此时x^2也是x的连续函数【如上面的第二条所阐述的】，而且你想要多少个x和它自己相乘都可以，这样就可以说明x的任意次幂（作为x的函数）的连续性，然后可以乘以常数系数，并将不同次幂相加在一起，得到任意一个多项式，此时该多项式依然是连续的！！！

看一个奇异的函数：

其实对于所有的指数函数、对数函数、三角函数也是如此，都是连续的，接下来看一下比较奇异的函数：

f(x) = x sin(1/x)

其实在之前普林斯顿微积分读本04第三章--极限导论 - cexo - 博客园学习极限导论时我们就已经学过它的图像了：

不过当时只是讨论x>0的情况：

其实该函数是一个偶函数，还记得偶函数的定义不，回忆一下普林斯顿微积分读本02第一章--函数的复合、奇偶函数、函数图像 - cexo - 博客园：

不信看下证明就知道了：

而根据偶函数的图像特性：

所以，很轻松的你就能将它的定义域扩充到x<0的情况，如下：

其中图只展示了定义域-0.3 < x < 0.3。

好，接下来讨论一下该函数的连续性，这里就得用到上面多项式扩充的一些结论了。

1、先看1/x是否连续？

很明显除了x=0之外的所有点都是连续的。

2、然后它与sin正弦函数复合，除了x=0之外，sin(1/x)在其他各处也都是连续的，这其实就是套的上面的这个结论：

3、x和sin(1/x)相乘，当然也是连续的。因为x本身就是连续函数，连续函数相乘最后会得到另一个连续函数。

很明显这个函数f在x=0上是不连续的对吧，从图中的空心圆就可以得知：

所以，我们重新定义一个函数，将这个空心洞给堵上，不就整个函数是连续了么？其实也比较简单，定义如下：

很明显在x=0外【此时g等于0，而f是无定义的，注意区分g和f，g是求极限，而f是一个函数】，g(x) = f(x)，g必须是处处连续的。现在需要来看看在x=0处发生了什么？由于g(0)是有定义的，所以：

这是根据之前学习的三明治定理得到的，这块知识肯定又忘得差不多了，回顾一下普林斯顿微积分读本04第三章--极限导论 - cexo - 博客园：

同样又可以根据三明治定理，可以得到它的左权限也等于0：

因为等号两边都存在且等于0，所以g在x=0处实际上是连续的，根据在某一点的连续性就可得：

尽管它是一个分段函数。

函数连续性的重要意义：

上面说了一大堆跟函数连续性相关的知识点，你有木有觉得感觉然并卵呀，其实是有用的，还记得在之前普林斯顿微积分读本05第四章--求解多项式的极限问题举过这么一个求极限的例子不？

用代入法就可以很轻松地求出该极限对吧，但是！！！为啥能使用代入法呢？用函数的连续性就可以来解释了。

令：

那么由于分子和分母都是多项式，除了在分母为0的点外，f是处处连续的，也就是说，除了在x = 2处，f是处处连续的，因此f在x = -1上是连续的，根据在某点上的连续性，就有这个式子：

也就是说求当x->-1函数f的权限，其实它的结果就等于函数f中x=-1代入的结果，所以就有：

到此，有木有觉得之前花了这么大篇幅一直在证明函数的连续性的作用？其实就是对之前我们为啥求极限时能使用代入法的一个合理的解释。

函数连续性带来的好处：

知道了一个函数是连续的之后，会有很多好处，我们这里先来看其中的两个好处。

好处一：介值定理：

概述：

啥是介值定理呢？ 其基本思想是：

假设一个函数f在一个闭区间[a,b]上连续，此外，假设f(a) < 0 且 f(b) >0，因此，在y=f(x)的图像上，点(a, f(a))位于x轴的下方，而点(b,f(b))位于x轴的上方，如下：

好，如果必须要用一条曲线（当然它是要满足垂线检验，也就是函数有图像），并且不允许抬起笔来，很显然你的笔将与x轴上a和b之间的某处至少相交于一次对吧，交点要么在a的附近或b的附近、或者在a和b中间的某处，但必须相交至少一次，也就是说，x轴截距【还记得截距的概念不，在之前普林斯顿微积分读本02第一章--函数的复合、奇偶函数、函数图像已经学过，可以回忆一下】在a和b之间的某处，其中要注意：函数f在区间[a,b]上的每一点都是连续的，这一点是非常重要的，如果f仅仅有一点不连续会怎样呢？看下图：

如有一个点不连续，则函数在x轴上就会发生跳跃而不通过x轴，所以这一点需要注意！！！

对于另一个情况也同样成立：f(a)>0且f(b)<0，也就是从x轴上方开始并在x轴下方结束的情况，并且同样要求f在[a,b]上的每一点都连续，那么在[a,b]上的某处，必定会有一个x轴截距存在。

好，接下来就可以正式引出介值定理了：

介值定理：如果f在[a,b]上连续，并且f(a) < 0且f(b) > 0，那么在区间(a,b)上至少有一点c，使得f(c) = 0；代之以f(a) > 0且 f(b) < 0，同样也成立。

实践：

上面介值定理描述之后，应该还是会感觉懵懵的对吧，下面举一些实际的例子来看一下这个定理有啥意义。

例一：

假设要证明这个多项式：

在x=1和x=2之间有一个x轴截距。

下面证明一下：

1、由于它是一个多项式，所以p是处处连续的，当然也就包含[1,2]之间的点；

2、由于p(1) = 4 > 0 且 p(2) = -9 < 0，也就是p(1) 和 p(2) 的符号相反，且p在[1,2]上连续；

3、所以我们知道在区间[1, 2]上至少存在一点c使得p(c) = 0，数c就是多项式p的一个x轴截距。

例二：

接下来这个例子稍难一些：

“如何证明方程x=cos(x)有一个解呢？不需要求出来，只需要证明存在一个解”。

这里其实可以用两种方法来证明。

方法一：可以先在同一坐标轴上画出y = x 和 y = cos(x)的图像，你会发现图像的交点的x轴坐标在π/4附近。不过对于这个图像式论证在数学证明题上来说，貌似说服力还远远不够，所以接下来再来看方法二，也就是我们所学的介值定理。

方法二： 利用介值定理，那如何来证明呢？

1、这里得利用一个小技巧：将所有表达式放到等号左边，也就是试着来求解x - cos(x) = 0，设f(x) = x - cos(x) ，如果可以证明存在数c使得f(c) = 0的话，任务就算完成了，因为f(c) = 0，那么c - cos(c) = 0，因此c = cos(c)，这样就找到了方程x = cos(x)的一个解了，它就是x = c。

好，貌似这里发现有介值定理的身影了，看一下介值定理的描述：

是的，接下来一步，就是用介值定理来进行论证了，这里就可以看到学它的意义了。

2、要想使用介值定理，其实就是需要找到两个数a 和 b，使得f(a) 和 f(b)其中一个是负的而另一个是正的对吧，而在方法一中的图像式论证中可以看到这个点是在π/4附近，所以我们可以保守地选取a = 0和b = π/2，很明显f(0) = 0 - cos(0) = 0 - 1 = -1，它是负的；f(π/2) = π/2 - cos(π/2) = π/2 - 0 = π/2，它是正的。

而由于f是函数的（它是两个连续函数的差，最终还是连续函数），根据介值定理可以得出：在区间(0, π/2)上存在某个数c使得f(c) = 0，于是就证明了x = cos(x)有一个解。

介值定理的另一个变体：

对于介值定理的定义来说：

看到标红的了么，其实这个0可以用任意数M来替换，且结果依然成立，就这有介值定理的另一个变体的描述了：

假设f 在[a,b]上连续；如果f(a) < M 且 f(b) > M(或反过来)，那么在(a,b)上存在一个点c使得f(c) = M。

举个例子：

对于f(x) = 5有解么？下面就可以用这个变体的介值定理来进行论证：

1、f函数是连续的；

2、取出[a, b]的范围，f(0) = 1 < 5，f(2) = 13 > 5，很明显根据变体的介值定理：

可以得知对于(0, 2)上的某个c，有f(c) = 5，所以f(x) = 5确实是有解的。

这里再尝试以一个新的函数g再来审视一下，其定义为：

如果f(x) = 5有一个解是c，那么c也是g(x) = 0的解,由于g(0) < 0 且 g(2) > 0，也就是这里可以不使用变体的介值定理。而变体并没有给我们提供任何新的东西，它只是简化流程了。

一个更难的介值定理例子：

最后再来看一个更加难的介值定理的例子：

证明任意的奇数次多项式至少有一个根。

令p是一个奇数次多项式，假设至少有一个数c使得p(c) = 0（这对于偶数次多项式不成立，比如二次的x^2 + 1没有根，其图像和x轴不相交），那如何来证明这个假设是成立的呢？

这里需要用到当时普林斯顿微积分读本05第四章--求解多项式的极限问题在学习x->∞时的有理函数的极限，有这么一个式子：

其中首项这边可以表示为：

所以就有：

也就是当x变得非常大的时候，p(x)和an(x^n)会相对地非常接近（它们的比值接近于1），这就意味着它们至少有相同的符号！！如果符号不相同，很明显它们的比值就接近于一个负数而不是1了。

所以这里假设A是一个很大的负数，使得p(A)和an(A^n)有相同的符号，另外选取一个非常大的正数B，使得p(B)和an(B^n)有相同的符号，此时an(A^n)和an(B^n)符号一定相反，因为n是一个奇数，如果an > 0，那么an(B^n)为正且an(A^n)为负，因此有：

所以p(A)和p(B)的符号相反；

又因为p是一个多项式，它是连续的；

所以根据介值定理就有：在A和B之间有一个数c，使得p(c) = 0，也就证明p有一个根。

总结：

对于介值定理，它的意义貌似就是用来进行函数求根进行论证的，至于它还有木有其它用处，待之后的学习再来感受，目前先有个大致的印象。

好处二：连续函数的最大值和最小值：

概述：

对于函数连续性的另一个好处就是可以知道连续函数的最大值和最小值，假设有一个函数f，它在闭区间[a,b]上连续，这意味着，可以拿笔放在点(a, f(a))上，由此出发，笔不离纸地画一条曲线，并结束于(b, f(b))。

接下来给出最大值和最小值定理：

如果f在[a,b]上连续，那么f在[a,b]上至少有一个最大值和一个最小值。

实践：

例一：

下图是一些关于[a,b]上的连续函数及其最大值与最小值的例子：

图一中可以看到x=c处取得最大值，x=d取得最小值；

图二是x=c取得最大值，而左端点x=a处取得最小值；

图三是x=b取得最大值，而最小值在x=c和x=d上，这个是可以接受的，允许有多个最小值只要至少有一个。

图四展示了一个常数函数，每个点既是最大值，也是最小值。

例二：

在上面的例子中强调的函数一定是连续的，且[a,b]是在闭区间，那如果不是呢，下面来看一些反面例子：

图一：函数f在区间[a,b]的中间有一条渐近线，则会产生一个不连续点，很明显它木有最大值，因为只会在渐近线的左侧无限上升。类似地，它也没有最大值，因为它会在渐近线的右侧无限下降。

图二：这个很明显在(a,b)开区间上是连续的，有一个最小值在x=c处有一个最小值，那它的最大值呢？你可能说它是在x=b处，错！！！因为x=b处没有定义，看看它是个空心圆，那你可以说最大值是在b附近呀，也就是一个小于b并接近于b的数，但是很不幸，没有这样的数，无论你想到一个多么接近于b的数，你总是可以取该数与b的平均数得到另一个更接近于b的数，所以，该函数是没有最大值的，这个例子也能说明为啥最小值和最大值定理描述中：

必须是闭区间的原因。

图三：其实，即使区间不是闭的，也有可能有最大最小值，看图三，它在(a,b)上是连续的，但仍然在x=c处有一个最大值并且在x=d处有一个最小值对吧，那。。最大最小值定理也没必要要求必须得是闭区间了呀，其实这只是一个幸运的情况，并非所有非闭区间的都有最大最小值，而如果你是在一个闭区间的情况下，根据最大最小值定理就可以确保最大值与最小值的存在性了，所以，对于这个开闭区间的情况一定得要想清楚。

总结：

说实话连续性这块的东东还是有些抽象的，需要好好消化，对于第5章其实还有一个内容--可导性，由于篇幅的原因，下次继续~~

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