极限求解方法小结

本文总结了同济版《高等数学》第一章中的极限求解的方法。

注：下文中的 $\underset{x}{\lim }$ 代表对于 $\underset{x\to x_0}{\lim }$ 或者 $\underset{x\to \infty }{\lim }$都成立

无穷大与无穷小

第4节，定理2：

• 无穷大的倒数为无穷小，即$$\underset{x}{\lim }f(x)=\infty \Rightarrow \underset{x}{\lim }\frac{1}{f(x)}=0$$
• 无穷小的倒数为无穷大，即$$\underset{x}{\lim }f(x)=0\Rightarrow \underset{x}{\lim }\frac{1}{f(x)}=\infty$$

第5节，定理1：

• 有限个无穷小的和为无穷小，即$$\underset{x}{\lim }f(x)=0,\underset{x}{\lim }g(x)=0\Rightarrow \underset{x}{\lim }[f(x)+g(x)]=0$$

第5节，定理2：

• 有界函数与无穷小的乘积为无穷小，即$$\underset{x}{\lim }f(x)=A,\underset{x}{\lim }g(x)=0\Rightarrow \underset{x}{\lim }f(x)\cdot g(x)=0$$
  例：$\underset{x\to 0}{\lim }x\cdot \sin (\frac{1}{x})=0$

  • 有限个无穷小的积为无穷小
  • 常数与无穷小的积为无穷小

极限的四则运算

$$\underset{x}{\lim }f(x)\pm \underset{x}{\lim }g(x)=\underset{x}{\lim }[f(x)\pm g(x)]$$
$$\underset{x}{\lim }f(x)\cdot \underset{x}{\lim }g(x)=\underset{x}{\lim }[f(x)\cdot g(x)]$$
$$\frac{\underset{x}{\lim }f(x)}{\underset{x}{\lim }g(x)}=\underset{x}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}(\underset{x}{\lim }g(x)\ne 0)$$

• 推论1：$$\underset{x}{\lim }c\cdot f(x)=c\cdot li{m}_{x}f(x)c为常数$$
• 推论2：$$\underset{x}{\lim }[f(x){]}^n=[\underset{x}{\lim }f(x){]}^n$$

复合函数的极限

省略定义域的条件：
$$\underset{x}{\lim }f[g(x)]=\underset{u}{\lim }f(u)u=g(x)$$

夹逼准则

$$g(x)\le f(x)\le h(x)，且\underset{x}{\lim }g(x)=\underset{x}{\lim }h(x)=A\Rightarrow \underset{x}{\lim }f(x)=A$$
夹逼准则一般配合数列的缩放来运用

单调有界准则

要先证明有界性和单调性，再求极限；
但在草稿上一般是先求极限，以保证原式极限的确存在。

两个重要的极限：

1. $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$
   • $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\sin x}=1$$
2. $$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$$
   • $$\underset{x\to 0}{\lim }{\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}}=e$$
   • $$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1-\frac{1}{x}\right)}^x=\frac{1}{e}$$
   • $$\underset{x\to 0}{\lim }{\left(1-x\right)}^{\frac{1}{x}}=\frac{1}{e}$$

解题思路

下面是大部分简单的求极限的题目的解题思路：

1. 能代就代：这种方法适用于$x\to x_0$，即自变量趋近于某个常数，且代入后分母不为0的情况，将$x_0$代入式子计算，式子的结果就是极限的结果；
2. 不能代就约：这种方法适用于$x\to x_0$，但代入后分母为0的情况，可以先将分子分母进行约分；
3. 不能约就比：上面两种方法都不适用后，可以比较分子分母的最高次幂，即当$a_0\ne 0,b_0\ne 0$时$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{a_0{x}^m+a_1{x}^{m-1}+\cdots +a_m}{b_0{x}^n+b_1{x}^{n-1}+\cdots +b_n}=\{\begin{array}{ll}0,& n>m\\ \frac{a_0}{b_0},& n=m\\ \infty ,& n<m\end{array}$$
4. 不能比就换：即换元法，用一个表达式来代替自变量$x$，其实本质上是运用了定理6（复合函数的极限），比如：$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 3x}{x}=\underset{3x\to 0}{\lim }\left(3\cdot \frac{\sin 3x}{3x}\right)$$要注意换元后的自变量的趋近是否还和原来一样；
5. 往两个重要的极限上靠：尽量将原式变换成两个重要的极限的形式；
6. 通过缩放运用夹逼准则
7. 证明单调有界，再求极限