考研笔记高数—第一章 函数、极限、连续

考研笔记高数—第一章 函数、极限、连续

极限的概念

注：
（1）无穷数列包括有通项公式的和无通项公式的。有穷数列没有极限的概念。
（2）理解
数列极限：我们心里想任意一个正数 ε ，不管我们心里想任意一个正数，不管我们心里想的正数 ε 有多小，总会存在一个正整数N，使得当n＞N时，所有的Xn都在区间（A- ε ，A+ ε ）内
函数极限：我们心里想任意一个正数 ε ，不管我们心里想任意一个正数，不管我们心里想的正数 ε 有多小，总会存在一个正数X，使得当x>X时，所有的函数值f（x）都在区间（A- ε ，A+ ε ）内

极限的性质

注：
1.存在极限的函数局部有界性的局部是指在去心领域上有界，而不是在函数的定义域上有界
2.等号问题

在极限存在的条件下，有5个考点

【1】是常数
【2】唯一性
【3】局部有界性
【4】局部保号性
【5】等式脱帽法

极限存在性的判别

1. 夹逼定理
   1）区别“夹逼定理”和“定积分定义”求极限
   
   2）放大缩小法
   

2. 单调有界数列必收敛定理

1）定义

2）典型例题

3）常规思路

4）特殊技巧

极限四则运算法则与推广

【1】无穷小×有界=无穷小
有界：通常sinx（x-＞∞）

【2】无穷大+有界=无穷大
无穷大+常数=无穷大

【3】无穷大×无穷大=无穷大
无穷大×不为0的常数=无穷大

【4】同号无穷相减无法用解答，其余情况答案都是确定的

幂指函数的极限运算法及推广

注：
1、推广（1），可以用e的x次方理解

无穷小

1）无穷小的性质

2）无穷小阶的概念

同阶，等价，高阶，k阶

3）常见的等价无穷小（略）

4）等价无穷小代换的原则

【1】乘除可换

【2】加减在一定条件下可换

5）无穷小阶的运算性质

连续

1）连续性的定义

2）开闭区间连续性

3）连续性运算法则

4）判断函数连续性的方法

间断

1）间断点出现的情况

2）间断点的类型

连续函数的性质

1）连续函数的局部保号性

2）有界闭区间上连续函数的性质