多边形三角剖分的最低得分--LeetCode1039

多边形三角剖分的最低得分–LeetCode1039

题目

给定 N，想象一个凸 N边多边形，其顶点按顺时针顺序依次标记为 A[0],A[1],...,A[i],...,A[N-1]。假设您将多边形剖分为 N-2个三角形。对于每个三角形，该三角形的值是顶点标记的乘积，三角剖分的分数是进行三角剖分后所有 N-2个三角形的值之和。返回多边形进行三角剖分后可以得到的最低分。

示例 1：

输入：[1,2,3]
输出：6
解释：多边形已经三角化，唯一三角形的分数为 6。

示例 2：

输入：[3,7,4,5]
输出：144
解释：有两种三角剖分，可能得分分别为：3*7*5 + 4*5*7 = 245，
或 3*4*5 + 3*4*7 = 144。最低分数为 144。

示例 3：

输入：[1,3,1,4,1,5]
输出：13
解释：最低分数三角剖分的得分情况为 1*1*3 + 1*1*4 + 1*1*5 + 1*1*1 = 13。

提示：

• 3 <= A.length <= 50
• 1 <= A[i] <= 100

思路

分析一个较大凸多边形进行三角剖分得到的最低分时，需要用到包含在该较大多边形中的小凸多边形的三角剖分的最低分。多边形三角剖分的示意图如下图所示。这是对区间[i, j]进行三角剖分，选取了区间中的一个点k，i-k这条线分出了上面一个小多边形，k-j这条线分出了下面一个小多边形，虚线表示区间[i, k]和[k, j]之间的顶点个数不确定，可能是一个也可能是多个。

dp数组含义：dp[i][j]为区间[i, j]的多边形三角剖分的最低得分。那么最终的结果肯定是整个区间的三角剖分的最低得分，即dp[0][n-1]，其中n为数组长度。

转移方程：
dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j] + A[i]* A[k] * A[j]), k∈(i,j)（后面一部分就是根据上面的三角剖分示意图得出来的）

初始化：因为需要求得分的最小值，所以dp数组中每个元素要初始化为整型的最大值。其次两个点是无法构成三角形的，所以dp[i][i+1]=0

参考题解：
52Hz的题解
Peter的题解

代码如下：

class Solution {
    public int minScoreTriangulation(int[] A) {
        if (A == null || A.length == 0) {
            return 0;
        }
        int n = A.length;
        int[][] dp = new int[n][n];
        // 初始化每个元素为整型的最大值
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                dp[i][j] = Integer.MAX_VALUE;
            }
        }
        // 两个点是无法构成三角形的
        for (int i = 0; i < n-1; i++) {
            dp[i][i+1] = 0;
        }
        
        // 枚举区间长度：len表示i和j的间隔，要构成三角形，至少间隔两个点
        for (int len = 2; len < n; len++) {
            for (int i = 0; i < n; i++) {//枚举区间的起点
                int j = i+len;//根据起点和长度得到终点
                if (j >= n) continue;
                for (int k = i+1; k < j; k++) {//枚举该区间的分割点
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i][j], dp[i][k]+dp[k][j]+A[i]*A[k]*A[j]);
                }
            }
        }
        return dp[0][n-1];
    }
}