如何用O(nlogn)的的速度求解最长上升（下降）子序列

打导弹解题有感

求一个序列的最长上升子序列，可以用贪心的思想来做。

例：389 207 155 300 299 170 158 65

要求它的最长递减子序列，具体步骤如下：

389

389 207

389 207 155

389 300 155     //207被300替换了，207是三个数中刚好小于300的数，207能接的后序列，300照样能接，而且有更大的空间可以接

389 300 299     //此次用299替换155，一样是因为有更大的空间可用，在这里就体现了用300来替换207的正确性

389 300 299 170

389 300 299 170 158

389 300 299 170 158 65

这样就得到了一个最长递减子序列，而且更有可能接更多的数

由于在这个贪心的过程中，辅助数组是有序的，就可以用二分查找来优化，最终将时间优化到O(nlogn)

对于打导弹这道题，求最少的导弹拦截系统的个数，实践最终证明，他等价于求最长上升子序列，类似于对偶优化问题，看它的贪心过程就可知道，它是如何等价于求最长上升子序列的，过程如下：

389

207

155

155 300

155 299

155 170

155 158

56 158    // 找到刚大于56的，然后替换掉，是最优的选择

代码如下：

代码

   
     

    
      
    
      #include
    
      <
    
      stdio.h
    
      >
    
      

    
      #define
    
       NN 10004
    
      


    
      int
    
       tmp[NN], high[NN];

    
      int
    
       index;

    
      int
    
       find1(
    
      int
    
       t){
 
    
      int
    
       low 
    
      =
    
       
    
      0
    
      ;
 
    
      int
    
       hig 
    
      =
    
       index 
    
      -
    
       
    
      1
    
      ;
 
    
      int
    
       ans 
    
      =
    
       
    
      -
    
      1
    
      ;
 
    
      do
    
      
 {
 
    
      int
    
       mid 
    
      =
    
       (low 
    
      +
    
       hig) 
    
      /
    
       
    
      2
    
      ;
 
    
      if
    
       (tmp[mid] 
    
      <
    
       high[t]){
 ans 
    
      =
    
       mid;
 hig 
    
      =
    
       mid 
    
      -
    
       
    
      1
    
      ;
 }
    
      else
    
      {
 low 
    
      =
    
       mid 
    
      +
    
       
    
      1
    
      ;
 }
 }
    
      while
    
       (low 
    
      <=
    
       hig);
 
    
      return
    
       ans;
}

    
      int
    
       find2(
    
      int
    
       t){
 
    
      int
    
       low 
    
      =
    
       
    
      0
    
      ;
 
    
      int
    
       hig 
    
      =
    
       index 
    
      -
    
       
    
      1
    
      ;
 
    
      int
    
       ans 
    
      =
    
       
    
      -
    
      1
    
      ;
 
    
      do
    
      
 {
 
    
      int
    
       mid 
    
      =
    
       (low 
    
      +
    
       hig) 
    
      /
    
       
    
      2
    
      ;
 
    
      if
    
       (tmp[mid] 
    
      >=
    
       high[t]){
 ans 
    
      =
    
       mid;
 hig 
    
      =
    
       mid 
    
      -
    
       
    
      1
    
      ;
 }
    
      else
    
      {
 low 
    
      =
    
       mid 
    
      +
    
       
    
      1
    
      ;
 }
 }
    
      while
    
       (low 
    
      <=
    
       hig);
 
    
      return
    
       ans;
}

    
      int
    
       main()
{
 
    
      int
    
       i, n, t;
 
    
      while
    
       (scanf(
    
      "
    
      %d
    
      "
    
      , 
    
      &
    
      n)
    
      !=
    
       EOF){
 
    
      if
    
       (n 
    
      ==
    
       
    
      0
    
      ) 
    
      break
    
      ;
 
    
      for
    
       (i 
    
      =
    
       
    
      0
    
      ; i 
    
      <
    
       n; i
    
      ++
    
      ){
 scanf(
    
      "
    
      %d
    
      "
    
      , 
    
      &
    
      high[i]);
 }

 tmp[
    
      0
    
      ] 
    
      =
    
       high[
    
      0
    
      ];
 index 
    
      =
    
       
    
      1
    
      ;
 
    
      for
    
       (i 
    
      =
    
       
    
      1
    
      ; i 
    
      <
    
       n; i
    
      ++
    
      ){
 t 
    
      =
    
       find1(i);
 
    
      if
    
       (t 
    
      ==
    
       
    
      -
    
      1
    
      ){
 tmp[index
    
      ++
    
      ] 
    
      =
    
       high[i];
 }
    
      else
    
      
 tmp[t] 
    
      =
    
       high[i];
 }
 printf(
    
      "
    
      %d\n
    
      "
    
      , index);

 tmp[
    
      0
    
      ] 
    
      =
    
       high[
    
      0
    
      ];
 index 
    
      =
    
       
    
      1
    
      ;
 
    
      for
    
       (i 
    
      =
    
       
    
      1
    
      ; i 
    
      <
    
       n; i
    
      ++
    
      ){
 t 
    
      =
    
       find2(i);
 
    
      if
    
       (t 
    
      ==
    
       
    
      -
    
      1
    
      ){
 tmp[index
    
      ++
    
      ] 
    
      =
    
       high[i];
 }
    
      else
    
      
 tmp[t] 
    
      =
    
       high[i];
 }
 printf(
    
      "
    
      %d\n
    
      "
    
      , index);
 }
 
    
      return
    
       
    
      0
    
      ;
}
   
     

 

补充：这种方法只能求得长度，如果要输出这个序列，还需要另外的算法。sgu199还是不能做！！！！