《动手学深度学习》多层感知机

隐藏层

多层感知机含有一个隐藏层，

以下是一种含单隐藏层的多层感知机的设计，其输出$\mathbf{O}\in {\mathbb{R}}^{n\times q}$的公式为：

$$\begin{array}{rl}\mathbf{H}& =\mathbf{X}{\mathbf{W}}_h+{\mathbf{b}}_h,\\ \mathbf{O}& =\mathbf{H}{\mathbf{W}}_o+{\mathbf{b}}_o,\end{array}$$

将以上两个式子联立起来，可以得到

$$\mathbf{O}=(\mathbf{X}{\mathbf{W}}_h+{\mathbf{b}}_h){\mathbf{W}}_o+{\mathbf{b}}_o=\mathbf{X}{\mathbf{W}}_h{\mathbf{W}}_o+{\mathbf{b}}_h{\mathbf{W}}_o+{\mathbf{b}}_o.$$

虽然神经网络引入了隐藏层，却依然等价于一个单层神经网络：其中输出层权重参数为${\mathbf{W}}_h{\mathbf{W}}_o$，偏差参数为${\mathbf{b}}_h{\mathbf{W}}_o+{\mathbf{b}}_o$。不难发现，即便再添加更多的隐藏层，以上设计依然只能与仅含输出层的单层神经网络等价。

解决办法是引入非线性变换，也叫激活函数。

激活函数

ReLU函数

ReLU（rectified linear unit）函数提供了一个很简单的非线性变换。给定元素$x$，该函数定义为

$$\text{ReLU}(x)=\max (x,0).$$

可以看出，ReLU函数只保留正数元素，并将负数元素清零。

Sigmoid函数

sigmoid函数可以将元素的值变换到0和1之间：

$$\text{sigmoid}(x)=\frac{1}{1+\exp (-x)}.$$

tanh函数

tanh（双曲正切）函数可以将元素的值变换到-1和1之间：

$$\text{tanh}(x)=\frac{1-\exp (-2x)}{1+\exp (-2x)}.$$

关于激活函数的选择

ReLu函数是一个通用的激活函数，目前在大多数情况下使用。但是，ReLU函数只能在隐藏层中使用。

用于分类器时，sigmoid函数及其组合通常效果更好。由于梯度消失问题，有时要避免使用sigmoid和tanh函数。

在神经网络层数较多的时候，最好使用ReLu函数，ReLu函数比较简单计算量少，而sigmoid和tanh函数计算量大很多。

在选择激活函数的时候可以先选用ReLu函数如果效果不理想可以尝试其他激活函数。

加上激活函数之后，我们的多层感知机公式为
$$\begin{array}{rl}\mathbf{H}& =\varphi (\mathbf{X}{\mathbf{W}}_h+{\mathbf{b}}_h),\\ \mathbf{O}& =\mathbf{H}{\mathbf{W}}_o+{\mathbf{b}}_o,\end{array}$$

其中$\varphi$表示激活函数。

多层感知机pytorch实现

import torch
from torch import nn
from torch.nn import init
import numpy as np
import sys

num_inputs, num_outputs, num_hiddens = 784, 10, 256

# 网络结构
net = nn.Sequential(
        d2l.FlattenLayer(),  # 图片数据转为一维
        nn.Linear(num_inputs, num_hiddens),  # 线性模型
        nn.ReLU(),  # 激活函数
        nn.Linear(num_hiddens, num_outputs), # 线性模型
        )
    
for params in net.parameters():
    init.normal_(params, mean=0, std=0.01)  # 初始化参数

batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size,root='/home/kesci/input/FashionMNIST2065')
loss = torch.nn.CrossEntropyLoss()  # 损失函数

optimizer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.5)  # 梯度下降

num_epochs = 5
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, batch_size, None, None, optimizer)