【裴蜀定理】AcWing 1205. 买不到的数目 & AcWing 525.小凯的疑惑

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裴蜀定理

如果 a,b 均是正整数且互质，那么由 ax+by,x≥0,y≥0 不能凑出的最大数是 ab−a−b。

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证明

(根据y总的思路)
首先证明 ab−a−b 不能被 ax+bx,x≥0,y≥0表示出。
反证法，假设 ab−a−b=ax+by，那么ab=a(x+1)+b(y+1)，由于a|ab,a|a(x+1)，所以 a|b(y+1)，由于 a,b互质，所以 a|(y+1)，由于y≥0，所以 a<=y+1，所以 b(y+1)≥ab。同理可得 a(x+1)≥ab，所以a(x+1)+b(y+1)≥2ab>ab，矛盾。
还可以参考这篇博客。

例题

AcWing 1205. 买不到的数目

先打表

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

bool dfs(int m,int p,int q)
{
    if(m==0) return true;
    if(m>=p && dfs(m-p,p,q)) return true;
    if(m>=q && dfs(m-q,p,q)) return true;
     return false;
}
int main()
{
    int p,q;
    cin>>p>>q;
    int res=0;
    for (int i = 1; i <= 1000; i ++ )
    {
        if(!dfs(i,p,q)) res=i;
    }
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}

但是上述代码会TLE，接下来直接用裴蜀定理。

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int main()
{
    int p,q;
    cin>>p>>q;
    cout << p*q-p-q<<endl;
    return 0;
}

完美AC！

AcWing 525. 小凯的疑惑

本题数据量较大 所以开long long，也是直接套定理。

//裴蜀定理
#include 
#include 
#include 
typedef long long LL;

using namespace std;

int main()
{
    LL a,b;
    cin>>a>>b;
    cout << a*b-a-b<<endl;
    return 0;
}

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总结

计算 ab−a−b的时间复杂度是 O(1)。
结论：如果 a,b 均是正整数且互质，那么由 ax+by,x≥0,y≥0 不能凑出的最大数是 ab−a−b。