【蓝桥杯Java组】数论基础—素数筛、最大公约数、最小公倍数

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前言:

  • 一学就会的小技巧(一):前缀和
  • 一学就会的小技巧(二):差分
  • 一学就会的小技巧(三):快速幂
  • 一学就会的小技巧(四):龟速乘
  • 一学就会的小技巧(五):矩阵快速幂
  • 一学就会的小技巧(六):矩阵快速幂的应用
  • 省赛真题—K倍区间(前缀和,数学,思维)

☕☕在解决编程题时,除了要对算法本身有足够的了解,往往还需要掌握一些基础数论。

☕☕常用的数论有:

  1. 最大公约数
  2. 最小公倍数
  3. 判断两数互质
  4. 素数筛

‍下面逐一给出代码模板~

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1.最大公约数:

求解最大公约数使用辗转相除法,又叫做欧几里得算法。

先将大数除以小数,如果整除,小数就是它们的最大公因数,如果不能整除,就记下余数,用前面的除数(就是小数),除以这个余数,以下类推,每一次都用前一个除式的除数除以自己的余数,直到有一个除法能整除,这时,最后能整除的除式的除数,就是这两个数的最大公因数。

Java代码:

public static int gcd(int a, int b) {
	return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

2.最小公倍数:

求两个数的最小公倍数可以先将两数相乘,再除以它们的最大公约数。

Java代码:

public static int lcm(int a, int b) {
	return (a * b) / gcd(a, b);
}

3.判断两数互质

知道如何求解最大公约数的话,很容易想到如何判断两数互质~

Java代码:

public static boolean isRelativelyPrime(int a, int b) {
	return gcd(a, b) == 1;
}

4.素数筛

⛅素数又叫质数,素数筛用来统计素数的个数,分为线性筛、埃氏筛、欧拉筛、奇数筛…一般常用埃氏筛。

⭐以LeetCode204.计数质数为例~

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⭐埃氏筛原理:

判断自然数n以内的全部质数,将不大于 n \sqrt{n} n 的所有质数的倍数剔除,剩下的即为该自然数n以内的所有质数

  • Step 1. 先将整个序列均标记为质数

  • Step 2. 取出整个序列的第一个质数 P,此时为 2

  • Step 3. 将该质数在n以内的倍数全部标记为非质数

  • Step 4. 根据标记信息按序取该序列中下一个质数Q(此时为3),先判断其平方值是否超过n,如果是,则该算法结束,质数与否标记完成;否则,返回Step 3

Java代码:

class Solution {

    public int countPrimes(int n) {
        boolean[] isPrimeArray = new boolean[n];
        Arrays.fill(isPrimeArray, true);
        for (int i = 2; i * i < n; i++) {
            if (isPrimeArray[i]) {
                int x = i;
                //	从i*i开始标记,因为i*i之前的肯定标记过了,减少冗余
                while (i * x < n) {
                    isPrimeArray[i * x] = false;
                    x++;
                }
            }
        }
        int count = 0;
        for (int i = 2; i < n; i++)
            if (isPrimeArray[i])
                count++;
        return count;
    }
}


本文介绍了几个基础数论的知识,素数筛、互质判断、最大公约、最小公倍,它们很常用,一定要记住代码模板~

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@作者:Mymel_晗,计科专业大学牲菜狗一枚,请大佬们多多关照~

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