【蓝桥杯Java组】数论基础—素数筛、最大公约数、最小公倍数

前言：

• 一学就会的小技巧（一）：前缀和
• 一学就会的小技巧（二）：差分
• 一学就会的小技巧（三）：快速幂
• 一学就会的小技巧（四）：龟速乘
• 一学就会的小技巧（五）：矩阵快速幂
• 一学就会的小技巧（六）：矩阵快速幂的应用
• 省赛真题—K倍区间（前缀和，数学，思维）

☕☕在解决编程题时，除了要对算法本身有足够的了解，往往还需要掌握一些基础数论。

☕☕常用的数论有：

1. 最大公约数
2. 最小公倍数
3. 判断两数互质
4. 素数筛

‍下面逐一给出代码模板~

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1.最大公约数：

求解最大公约数使用辗转相除法，又叫做欧几里得算法。

先将大数除以小数，如果整除，小数就是它们的最大公因数，如果不能整除，就记下余数，用前面的除数（就是小数），除以这个余数，以下类推，每一次都用前一个除式的除数除以自己的余数，直到有一个除法能整除，这时，最后能整除的除式的除数，就是这两个数的最大公因数。

Java代码：

public static int gcd(int a, int b) {
	return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

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2.最小公倍数：

求两个数的最小公倍数可以先将两数相乘，再除以它们的最大公约数。

Java代码：

public static int lcm(int a, int b) {
	return (a * b) / gcd(a, b);
}

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3.判断两数互质

知道如何求解最大公约数的话，很容易想到如何判断两数互质~

Java代码：

public static boolean isRelativelyPrime(int a, int b) {
	return gcd(a, b) == 1;
}

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4.素数筛

⛅素数又叫质数，素数筛用来统计素数的个数，分为线性筛、埃氏筛、欧拉筛、奇数筛…一般常用埃氏筛。

⭐以LeetCode204.计数质数为例~

⭐埃氏筛原理：

判断自然数n以内的全部质数，将不大于$\sqrt{n}$的所有质数的倍数剔除，剩下的即为该自然数n以内的所有质数

• Step 1. 先将整个序列均标记为质数

• Step 2. 取出整个序列的第一个质数 P，此时为 2

• Step 3. 将该质数在n以内的倍数全部标记为非质数

• Step 4. 根据标记信息按序取该序列中下一个质数Q（此时为3），先判断其平方值是否超过n，如果是，则该算法结束，质数与否标记完成；否则，返回Step 3

Java代码：

class Solution {

    public int countPrimes(int n) {
        boolean[] isPrimeArray = new boolean[n];
        Arrays.fill(isPrimeArray, true);
        for (int i = 2; i * i < n; i++) {
            if (isPrimeArray[i]) {
                int x = i;
                //	从i*i开始标记，因为i*i之前的肯定标记过了，减少冗余
                while (i * x < n) {
                    isPrimeArray[i * x] = false;
                    x++;
                }
            }
        }
        int count = 0;
        for (int i = 2; i < n; i++)
            if (isPrimeArray[i])
                count++;
        return count;
    }
}

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本文介绍了几个基础数论的知识，素数筛、互质判断、最大公约、最小公倍，它们很常用，一定要记住代码模板~

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@作者：Mymel_晗，计科专业大学牲菜狗一枚，请大佬们多多关照~