军队文职(数学2+物理)——高等数学 6、求极限(二)

一、洛必达法则:

若满足型，则

1)型可以直接使用洛必达法则，需要转换成的形式才可以使用。 

2)公式延伸：若满足型，则，

3)求极限时首选无穷小替换，再用洛必达法则，无穷小替换可以用洛必达发展推导，便于记忆。

 1、用洛必达法则推导两个重要极限公式

1)       型

2)                  型

  ,转化成  型，用洛必达法则

2、用洛必达法则推导等价无穷小公式

 1)x ~ sinx ~ tanx ~ arcsinx ~ arctanx ~ ln(1+x) ~ 

          型

                      型            

2)

3)

 

二、泰勒公式

定理1：(佩诺亚余项的n阶泰勒公式)

设f(x)在处有n阶导数，则存在的一个邻域，对该邻域内的任一x都有：

             

其中称为佩诺亚余项。

定理2：(拉格朗日余项的n阶泰勒公式)

设f(x)在的某个邻域内有n+1阶导数，对该邻域内的任一x都有：

             

其中(在与x之间)称为佩诺亚余项。

麦克劳林公式：当=0时，n阶泰勒公式也称为n阶麦克劳林公式。

1)

2)

3)

4)

5)