正定矩阵(Positive-definite Matrix)

转载自http://blog.csdn.net/wangxiaojun911/article/details/7864153 http://blog.csdn.net/po5889/article/details/10576511，仅用作个人学习。

正定矩阵是自共轭矩阵的一种。正定矩阵类似复数中的正实数。定义：对于对称矩阵M，当且仅当存在任意向量x，都有

若上式大于等于零，则称M为半正定矩阵。正定矩阵记为M>0。

也被称为正定二次型

正定矩阵的判定

1、所有特征值为正数（根据谱定理，若条件成立，必然可以找到对角矩阵呢D和正定矩阵P，使M=P^-1DP）；
2、所有的顺序主子式为正定；
3、Cholesky分解得到的矩阵，其主对角线上的元素全为正数；
4、矩阵有半双线性映射形式。

首先解释双线性映射。假设三个向量空间X, Y和Z，有Z = B(X, Y)。对于X或Y中的任意向量都有到Z的唯一映射。如果把X固定，Y中的元素就存在到Z的线性映射，反过来也一样。
所谓半双线性映射，就是它的两个参数一个是线性的，另一个是半线性的（或共轭线性）。如：

复数空间的内积都是半双线性的。

正定矩阵的性质

1、正定矩阵均可逆，且逆矩阵也为正定矩阵；
2、正定矩阵与正实数的乘积也为正定；
3、迹Tr(M)>0；
4、存在唯一的平方根矩阵B，使得：

矩阵正定(百度百科)
设M是n阶实系数对称矩阵， 如果对任何一非零实向量X，都使二次型f(X)= X′MX>0，则称f（X）为正定二次型，f(X)的矩阵M称为正定矩阵(Positive Definite)。[1] 　正定矩阵在相合变换下可化为标准型， 即单位矩阵。所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米特矩阵）也是正定矩阵。
另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵. 　
　　判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。 　
　　判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。 　
　　判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。

此外还有一种矩阵的概念--正矩阵：

设矩阵A为m*n维，元素为aij。称A为非负矩阵，若aij>=0,对任何i=1,..,m,j=1,...n成立，即A的所有元素是非负的。若上式中严格的不等式成立，即A的所有元素为正，则称A为正矩阵。

区别：

正定矩阵限定为正方矩阵，而正矩阵可以是非正方的矩阵；

正定矩阵A由其二次型(x^H)Ax>0，对任意x不等于0来定义，而正矩阵由其元素aij>0定义；

正定矩阵常用符号(x^H)Ax>0表示，而正矩阵用符号 A>0表示。

 

正定矩阵的意义：

看了网上了资料，第一感觉就是正定矩阵变换之后如求逆等还是正定的，算是保持正定这个性质；

其次就是特征值全为正，可以方便后续处理吧；

再贴一个百度知道里一个说明作用的例子：

任意一个向量x，跟他垂直的超平面把空间分成两部分，一部分和x在同一侧，即满足和x的内积为正的那侧，一部分在异侧，内积为负。

 

由定义，正定的线性变换把任意一个向量x都变到x的同侧。

 

如果它有实特征值，必定是正数，否则的话它会把这特征向量变到另侧。

 

一个线性变换把一组幺正基e1,...,en变到另一组向量v1,...,vn，这n个新向量的端点和原点一起构成一个多面体。这多面体的体积就是线性变换的行列式。对正定变换来说，其行列式为正，所以这个多面体非退化，且v1,...,vn确定的定向和e1,...,en确定的定向相同。

 

补充:不会保持形状不变.保持不变的必须是等距,就是说,必须是正交变换O(n).

 

正定变换一般最常见的情况是正定对称变换.正定对称变换最常见的情况是用来定义内积.即定义 = x'Ay为x,y的内积.欧氏空间的内积用I来定义,即=x'y.