CSDN 编程竞赛第十期题解

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CSDN编程竞赛第十期：比赛详情 (csdn.net)

本次竞赛共四道题，其中前两题难度较低。

竞赛题解

题目1、熊孩子拜访

已知存在一个长度为n的整数序列A。 A中所有元素按照从小到大的顺序进行排序。现在执行操作倒置一段序列。 请找到A序列里的倒置子序列。

根据题目描述可知，整数序列整体为升序，且其中只有一段倒置子序列。
使用两个索引指针来记录倒置子序列的起始位置。
两个索引指针默认都指向序列中的第一个值。
从第二个值开始，遍历整个序列。
如果当前位置的值比前一个位置的值更大或相等（且两个指针指向的位置相同），说明当前序列位置保持升序状态，更新索引，起始位置和终止位置都更新为当前位置索引。
否则，判断当前位置的值是否比终止位置指针指向的值更小，如果满足条件说明该段子序列为降序状态，此时需要更新终止位置。
否则，跳出循环。
此时即可得到倒置子序列的起始位置和终止位置。
根据题目要求，如果两个索引指针指向的位置相同，输出0 0。
否则，输出对应位置的值即可。

题目2、走楼梯

现在有一截楼梯，根据你的腿长，你一次能走1级或2级楼梯，已知你要走n级楼梯才能走到你的目的楼层，请实现一个方法，计算你走到目的楼层的方案数。

经典的递归问题。一次可以上1阶或2阶楼梯。
从最基础的情况开始考虑：
如果楼层为1，只有1种方案，方案数为 f (1) = 1。
如果楼层为2，有2种方案，1+1、2，方案数为 f (2) = 2。
如果楼层为3，此时可以在楼层为1的基础上再上2阶楼梯，也可以在楼层为2的基础上再上1阶楼梯，此时方案数为：f (3) = f (2) + f (1)。
得到递推公式，f (n) = f (n - 1) + f (n - 2)。
直接使用递归会进行很多无谓的计算，可以写个循环先把所有值都算出来，然后要什么就返回什么即可。
这道题给的C++模板有些问题，模板用的是int类型，答案范围是long long int类型。如果直接使用模板，无法得到全部分数。

递归问题的核心思想是通过基础状态得到复杂状态，通常，比较简单的状态可以在程序中直接返回，复杂的状态可以使用递推公式得到。

例如，走楼梯问题的递归函数为：

int f (int n) {
    if (n <= 1) return 1;
    if (n == 1) return 1;
    if (n == 2) return 2;
    return f (n - 1) + f (n - 2);
}

题目3、括号上色

小艺酱又得到了一堆括号。 括号是严格匹配的。 现在给括号进行上色。 上色有三个要求： 1、只有三种上色方案，不上色，上红色，上蓝色。 2、每对括号只有一个上色。 3、相邻的两个括号不能上相同的颜色，但是可以都不上色。 问括号 上色有多少种方案？答案对1000000007取模。

动态规划问题，相当于递归的升级版，通过开辟一个内存数组来存储中间状态，后面的状态可以通过基础状态求得。

注意到测试数据有一组(())，还有一个()，如果已经算出(())的涂色方案，那么(())()的方案可以在(())的基础上，加上()的方案求得。

这个题目中还有一些边界限制，不能直接使用子序列的方案数。例如(())的右边界（右括号）已经染色，根据题意(())()右边的()的左括号不能与(())的右括号染成相同颜色。

这道题目的思路是：

用栈对括号对进行分析，用一个一维数组记录配对括号的位置。给出左括号，能够找到与其配对的右括号的位置，反之亦然。

建立一个四维的数组，存储a到b区间上左右边界染色的情况，数组的形状为dp[len][len][3][3]。根据染色情况进行状态转移。

题目4、喜水青蛙

总是喜欢在水里嬉戏的青蛙，某天要过河拜访一位朋友。 已知河道中长满了带刺的不知名生物，能通过的路只有一条直线，长度为L。 直线上随机分布着m块石头。青蛙的最小跳跃距离是s，最大跳跃距离是t。 青蛙想要尽可能的少踩石头，那么它通过河道最少会踩到多少石头？

这道题是十几年前的一道NOIP试题，属于中等难度。需要注意的是，青蛙过河可以不踩石头。

河的长度L是int范围，而石头的数量却很少，如果暴力枚举的话会超时，因此这道题需要进行状态压缩。首先，由于并不确定输入数据给定的石头位置是否是从小到大的，所以需要对石头的位置进行排序。接下来，如果两块石头之间的距离过大，可以将它们的距离进行压缩。

感兴趣的话可以去看一下NOIP试题集，上面有历年NOIP题目的详细分析过程。如果实在做不出来也可以输出一个概率比较大的值，例如0、1、2等，可以骗到一些分。