数项级数

数项级数的基本概念

1.定义：$$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n=u_1+u_2+...+u_n+...$$
2.部分和：
$$S_n=\sum _{k=1}^n{u}_k=u_1+u_2+...+u_n$$
3.收敛与发散：
$$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }(u_1+u_2+...+u_n)=S,$$如果极限S存在，则称级数$\sum _{n=1}^{\infty }$收敛；如果极限 S不存在，则称级数$\sum _{n=1}^{\infty }$发散。
4.绝对收敛：
若$\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|$收敛，则称级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$绝对收敛。
5.条件收敛：
若$\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|$发散，而级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，则称$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$条件收敛。

收敛级数的基本性质

1.柯西准则级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛$\iff \forall ϵ>0,\exists N\in {\mathbb{N}}^{+}$使得$$|x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots +x_m|=|\sum _{k=n+1}^m{x}_k|<ϵ$$对一切$m>n>N$成立。

2.级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛的必要条件是$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$.
3.线性性质：
若两个级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$与$\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$同时收敛，则$$\sum _{n=1}^{\infty }(\alpha u_n\pm \beta v_n)=\alpha \sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\pm \beta \sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$$
4.在级数中添加或去掉有限项或改变有限项的值，不会改变级数的收敛性。
5.若级数收敛，其和为S，则可对该级数任意加括号，不改变其收敛性，也不改变其和。

级数敛散性的判定

正项级数敛散的判定

1.正项级数收敛的充要条件：
其部分和数列有界。
2.敛散性的判别法
（1）比较判别法
（2）比较判别法的极限形式
（3）达朗贝尔判别法：$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}=q<1,$$收敛。
（4）柯西判别法$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{u_n}=l<1,$$收敛。
（5）柯西积分判别法：
$\sum f(n)$与${\int }_1^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$同敛。

交错级数敛散性的判别法

如果级数$\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}{u}_n(u_n>0)$，则称此级数为交错级数。
进一步，若级数$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}{u}_n(u_n>0)$满足$\{u_n\}$单调减少且收敛于0，则称这样的交错级数为leibniz级数。
莱布尼兹判别法:leibniz级数必定收敛。

任意项级数的判定

绝对收敛性:
若级数$\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|$收敛，则级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$一定收敛。

乘积形式 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{b}_n$的判定

若下列两个条件之一满足，则级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{b}_n$收敛：

（1）阿贝尔判别法:$\{a_n\}$单调有界，$\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n$收敛；
（2）狄利克雷判别法:$\{a_n\}$单调趋于零，$\sum _{i=1}^n{b}_i$有界