电磁学乱七八糟的符号(四)
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author:何伟宝
这里重点是一般传输规律和矩形波导,chapter6 电磁波的传输
[TOC]
纵向场量法
说白了也就是从麦克斯韦方程式抽象出我们需要的波动方程,流程如下:
矢量波动方程
在无源自由空间场量中(由麦克斯韦方程式):
在波导中,设电磁波沿着z轴传输:
其中有:
行波因子
在上一章说过他也是一个传播常数,当为实数时,信号衰减.虚数时信号传播,且波数为其虚部
矢量分解
这里有意地把纵横量分开了:
顺便把拉普拉斯算符也分开:
标量波动方程
将矢量分解的三个方程先带入(1.3)(1.4)再代入(1.1)(1.2),只截取纵向分量得:
再将上式改写成(1.3)(1.4)形式:
考虑麦克斯韦方程的旋度式:
联立上四式可得六个标量方程:
千万不要慌,由麦克斯韦美好的对称性可以知道,我们只要算一对叉乘就可以了,由对称性:
纵横关系式
联立以上六式可得(解这个会有点痛苦,但是这不重要)纵横关系式:
其中:
如果不用书本的表示方法的话,你会发现一点公式的美学...
自此,纵向常量法就介绍完成了.这里的重点在于纵横关系式
各种导波的一般传输特性
概述
这一小节解决的问题是,某种电磁波要在波导中传输的存在可能性问题.重点有TEM,TE,TM波等.并且提供假设各种波存在的时候,怎么求解波动方程的思路.
TEM横电磁波
还是回到我们熟悉的波动方程,可以把上面的纵横关系式:
显然这一节的教材安排是不合理的...因为在TEM波中:
显然代入纵横关系式中,全军覆没......所以分析横电磁波的时候不能采用纵向常量法得到直接表达式
这时候我们可以代入得到纵横关系式前面一点的关系式中:
那么我们就可以知道,代入纵横关系式会凉凉的原因是,(tem)他看上去就是一个静态场的方程,用麦克斯韦旋度式便变成0了.
这也启发我们,在求解TEM波动方程的时候,之需要先算出导波的横向分布函数,再乘以纵向传播因子就可以得到波动方程了.而且并不是每一种波导都会有TEM模.
存在条件
首先说明的一点是:空心波导只能传输TM或TE波,不能传输TEM波,因为在无外源的无限长导体空管中不可能存在静电场
书上P175,结合来看吧..(懒得打字)
TEM传播常数和相速
由(2.1)可知
解得
所以相速为:
可以看出TEM模导行波是与频率无关的非色散波
TEM的波阻抗
由(标量2)和(标量6)并代入TEM的定义式:
代入得(注意,求解不是联立.只要用其中一条代入就行了)
可以看出,和频率是没有关系的.
所以:TEM模在任何频率下都能传播非色散横电磁波
TE nor TM
在TM波中,和.所以只需要代入(波动1),同理:
在TE波中,和.所以只需要代入(波动2)
存在条件
可以看出,无论是哪一种,都不会等于0,所以:
被称为波导中TM波和TE波的存在条件。
传播常数和截止频率
由传播因子可以知道，在时,传播截止.这个时候有
所以有:
解得:
其中,被称为截止频率或临界频率(c to cut),所以反过来求得:
可以看出:
当时,传播因子变成了,是一个衰减型凋落场
当时,传播因子变成了,表示一个传播型色散行波
相速和波导波长
当时,因为是一个色散波,我们可以来讨论一下他的相速,由上面:
所以有,相速:
波导内波导行波的波长称为波导波长:
表明导行波是与频率有关的色散行波
波阻抗
TM波
由纵横关系式,结合tm波的特征可得:
所以定义TM波的波阻抗为:
消去得:
TE波
按照TM波的套路,代入得:
互易性
由上面可以得出:
可以看到TE和TM波的波阻抗具有互易性
矩形波导
这里也是要做纵横关系式求解的最后一步,代入边界条件
由前面就可以知道,矩形波导不能传播TEM波
首先假设矩形波导的数学模型:
长a宽b壁导体
先上一张图辅助一下大家后面看边界条件的法向还是切向
TM(图的右边)
边界条件:
其中称为截止波数.
公式的意义是很明确的:
传播TM波的时候矩形波导的边界都没有电场强度
以下是我以为的原因(有异议可以评论,大家互相学习一下)
- 一个原因(一对边)在于,边界条件中,法向的电场强度连续,而理想导体内部没有电磁场
- 另一对边是因为,上一章说过的趋肤效应导致的,而由于是所以就为0了
纵向解
由于我们想求的纵横关系式中,x和y是独立分开的.所以假设:
代入波动方程并化成常微分方程得:
其中:
显然特征方程的根是两个纯虚数,故设通解:
分别代入边界条件可得(书上P176):
其中:由激励源强度确定
大概的思路是先带入x=0和y=0那两条,算出B,D=0再代入剩下两条即可.
横向解
现在求出了的表达式,显然,代入一般情况可得:
其中:
由TE,TM的存在条件可以知道,当m=n=0时,方程无意义
TE(图的左边)
由于和TM是同一个套路,这里就直接给公式了:
边界条件
纵向解
横向解
同理:m=n=0时,公式无意义
横场分布的物理特性
这里对应的是P178,下面列举出来只作复习回想用:
- 沿x,y的驻波性和z向的行波性
- 平面波的非均匀性
- 场的多模性
- 模式的兼并性
- 模式的阶次性
导波的纵场传输特性*
截止性(高通特性)
之前在一般传输特性就讲过这个问题,只是k可以由m和n给出,所以回代得:
色散性和滤波性
由上一个性质可以知道,在截取频率之前的波形都会因为传播常数的实部不为0而全部被去掉
所以当f>时():
阻抗双重性
这个由截止性就知道,低于截止频率的波阻抗呈阻性,高于的呈电抗性:
主模的传输特性
用主模传输的重点问题在于单模传输 单模传输 单模传输 单模传输
场分布
至于为什么是主模的话,就不说了,你只要把 m,n的各个值代进去纵横关系式,就可以知道了
...其他三个为0...
传输特性
根据前面说的那些,代入m=1,n=0得:
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结语
因为这里写了比较多的波动方程,所以会有点长!
想我尽早更新的方法之一