算法设计与分析常见习题及详解

无论在以后找工作还是面试中，都离不开算法设计与分析。本博文总结了相关算法设计的题目，旨在帮助加深对贪心算法、动态规划、回溯等算法的理解。

1、计算下述算法执行的加法次数：

输入：n=2^t   //t为整数
输出：加法次数 k
K=0
while n>=1 do
    for j=1 to n do
         k:= k+1
    n= n/2
return k

解析：第一次循环执行n次加法，第二次循环执行1/2次加法，第三次循环执行1/$2^2=1/4$次加法…因此，上述算法执行加法的次数为$n+\frac{1}{2}n+\frac{1}{4}n+...+1$=$n+n-\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}n-\frac{1}{4}n+....-1$=2n-1

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2、考虑下面每对函数 f(n) 和 g(n) ，如果它们的阶相等则使用Θ记号，否则使用 O 记号表示它们的关系
$f(n)=(n^2-n)/2，g(n)=6n$
解析：
前导知识：
$$1<logn<n<nlogn<n^2<n^3<2^n<n!<n^n$$
$g(n)=O(f(n))$，因为$f(n)=\Theta (n^2),g(n)=\Theta (n)$
$f(n)=n+2\sqrt{n},g(n)=n^2$
解析：$f(n)=O(g(n))$，因为$f(n)=\Theta (n),g(n)=\Theta (n^2)$
$f(n)=n+nlogn,g(n)=n\sqrt{n}$
解析:$f(n)=O(g(n))$，因为$f(n)=\Theta (nlogn),g(n)=\Theta (n^{\frac{3}{2}})$
$f(n)=2(lo{g}^n{)}^2,g(n)=logn+1$
解析：$g(n)=O(f(n))$
$f(n)=log(n!),g(n)=n^{1.05}$
解析:$f(n)=O(g(n))$

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3、在表1.1中填入 true 或 false

解析：利用上题的前导知识就可以得出。

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4、对于下面每个函数 f(n),用f(n) =Θ(g(n))的形式，其中g(n)要尽可能简洁，然后按阶递增序排列它们（最后一列）
$(n-2)!=\Theta ((n-2)!)$
$5log(n+100{)}^{10}=\Theta (logn)$
$2^{2n}=\Theta (4^n)$
$0.001n^4+3n^3+1=\Theta (n^4)$
$(lnn{)}^2=\Theta (l{n}^{2}n)$
$\sqrt[3]{n}+logn=\Theta (\sqrt[3]{n})$
$3^n=\Theta (3^n)$
$log(n!)=\Theta (nlogn)$
$log(n^{n+1})=\Theta (nlogn)$
$1+\frac{1}{2}+....+\frac{1}{n}=\Theta (logn)$
解析：最后一个用到了调和公式：${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k}=logn+O(1)$
按阶递增的顺序排列：
$1+\frac{1}{2}+....+\frac{1}{n}$、$5log(n+100{)}^{10}$、$(lnn{)}^2$、$\sqrt[3]{n}+logn$、$log(n!)$、$log(n^{n+1})$、$0.001n^4+3n^3+1$、$3^n$、$2^{2n}$、$(n-2)!$

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5、求解递推方程
前导知识：主定理

前导知识：递归树：
例子：递归树是一棵节点带权的二叉树，初始递归树只有一个结点，标记为权重W(n)，然后不断进行迭代，最后直到树种不再含有权为函数的结点为止，然后将树根结点到树叶节点的全部权值加起来，即为算法的复杂度。以二路归并排序算法的递推方程为例子进行递归树讲解。
已知$W(n)=2W(n/2)+n-1$,并且W(1)=0,递归树求解过程如下图：

（1）$T(n)=T(n-1)+n^2,T(1)=1$
解析：
$T(n-1)=T(n-2)+(n-1{)}^2$
$T(n-2)=T(n-3)+(n-2{)}^2$
$T(n-3)=T(n-4)+(n-3{)}^2$
…
因此，将上述各式相加，得到$T(n)=1+2^2+3^3+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

（2）$T(n)=9T(n/3)+n,T(1)=1$
解析：$a=9,b=3$，因此，$n^{lo{g}_b^a}=n^{lo{g}_3^9}=n^2,f(n)=n$
因为，$f(n)<O(n^2)$,因此，$T(n)=O(n^2)$

（3）$T(n)=T(n/2)+T(n/4)+cn，T(1)=1$
解析：

（3）$T(n)=5T(n/2)+(nlogn{)}^2，T(1)=1$
解析：$a=5,b=2,n^{lo{g}_b^a}=n^{lo{g}_2^5},f(n)=(nlogn{)}^2$,由于，$n^{lo{g}_2^5}>O(f(n))$,因此，T(n)=$O(n^{lo{g}_2^5})$

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5、设A是 n 个非0实数构成的数组，设计一算法重排数组的数，使得负数都在正数的前面。
要求时间、空间复杂性为 O(n)和O(1)
解析：由于时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1),说明只需要遍历一次数组，不需要额外的存储空间，就能完成该问题的求解。
算法：

• 从右向左扫描直到找到第一个负数A[p]
• 从左向右扫描直到找到第一个正数A[q]
• 若p>q，则交换A[p]、A[q]
• 若p<=q，则停止，否则重复上述步骤

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6、给定含 n 个不同的数的数组 $L=<X_1,\dots ,X_n$>. 如果 L 中存在$X_i$ 使$x_1<x_2<\dots <X_i>X_i+1>\dots >x_n$ 则说 L 是单峰的，并称 $x_i$ 是 L的峰顶。假设 L 是单峰的，设计算法找到 L 的峰顶。
解析：用二分法：

• 若|L|=3,则L[2]即为所求
• 若|L|>3，则取k=[n/2],检查若L[k-1]L[k+1],则找到
• 否则，若L[k-1]L[k]>L[k+1]，说明单峰在左边，继续进行二分查找

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7、设A 是 n 个不同的数排好序的数组，给定数 L 和 U ， L 解析：一般对于已经排好序的数组相关的算法，可以想想是否可以用到二分算法。
使用二分查找：

• 用二分查找法找到等于或大于L的最小的位置k，等于的情况k+1(因为题目要求的是大于)
• 类似的用二分查找找到等于或小于U的最大数的位置j(等于的情况j-1)
• 输出从k到j的数

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8、用动态规划算法求解下面的组合优化问题：
$max\{g_1(x_1)+g_2(x_2)+g_3(x_3)\}$
$x_1^2+x_2^2+x_3^2<=10$
x1, x2, x3 为非负整数
其中函数 g1(x), g2(x), g3(x) 的值给在下表中

解析：设$F_k(x)$表示目标函数的最大值
这里设置标志函数$x_k(x)$，表示当目标函数取到最大时，分配给第k个$g_k$的参数值
因此有：
$F_k(x)=ma{x}_{\{0<=x_k<=\lfloor x\rfloor \}}\{F_{k-1}(x-x_k)+g_k(x_k)\}$
$F_1(x)=g_1(\lfloor \sqrt{x}\rfloor )$
首先计算$F_1(x)$：
$F_1(0)=2,x_1(x)=0$,
$F_1(1)=4,F_1(2)=4,F_1(3)=4,x_1(x)=1$,
$F_1(4)=7,F_1(5)=7,F_1(6)=7,F_1(8)=7,x_1(x)=2$,
$F_1(9)=11,F_1(10)=11,x_1(x)=3$
计算$F_2(x)$:
$F_2(0)=max\{g_2(0)+F_1(0)\}=7,x_2(x)=0$
$F_2(1)=max\{g_2(0)+F_1(1),g_2(1)+F_1(0)\}=12,x_2(x)=1$
$F_2(2)=max\{g_2(0)+F_1(2),g_2(1)+F_1(1)\}=14,x_2(x)=1$
$F_2(3)=max\{g_2(0)+F_1(3),g_2(1)+F_1(2)\}=14,x_2(x)=1$
$F_2(4)=max\{g_2(0)+F_1(4),g_2(1)+F_1(3),g_2(2)+F_1(0)\}=18,x_2(x)=2$
$F_2(5)=max\{g_2(0)+F_1(5),g_2(1)+F_1(4),g_2(2)+F_1(1)\}=20,x_2(x)=2$
$F_2(6)=max\{g_2(0)+F_1(6),g_2(1)+F_1(5),g_2(2)+F_1(2)\}=20,x_2(x)=2$
$F_2(7)=max\{g_2(0)+F_1(7),g_2(1)+F_1(6),g_2(2)+F_1(3)\}=20,x_2(x)=2$
$F_2(8)=max\{g_2(0)+F_1(8),g_2(1)+F_1(7),g_2(2)+F_1(4)\}=23,x_2(x)=2$
$F_2(9)=max\{g_2(0)+F_1(9),g_2(1)+F_1(8),g_2(2)+F_1(5),g_2(3)+F_1(0)\}=23,x_2(x)=2$
$F_2(10)=max\{g_2(0)+F_1(10),g_2(1)+F_1(9),g_2(2)+F_1(6),g_2(3)+F_1(1)\}=24,x_2(x)=3$
计算$F_3(x)$:
$F_3(0)=max\{g_3(0)+F_2(0)\}=15,x_2(x)=0$
$F_3(1)=max\{g_3(0)+F_2(1),g_3(1)+F_2(0)\}=20,x_2(x)=0$
$F_3(2)=max\{g_3(0)+F_2(2),g_3(1)+F_2(1)\}=24,x_2(x)=1$
$F_3(3)=max\{g_3(0)+F_2(3),g_3(1)+F_2(2)\}=26,x_2(x)=1$
$F_3(4)=max\{g_3(0)+F_2(4),g_3(1)+F_2(3),g_3(2)+F_2(0)\}=26,x_2(x)=1$
$F_3(5)=max\{g_3(0)+F_2(5),g_3(1)+F_2(4),g_3(2)+F_2(1)\}=30,x_2(x)=1$
$F_3(6)=max\{g_3(0)+F_2(6),g_3(1)+F_2(5),g_3(2)+F_2(2)\}=32,x_2(x)=1$
$F_3(7)=max\{g_3(0)+F_2(7),g_3(1)+F_2(6),g_3(2)+F_2(3)\}=32,x_2(x)=1$
$F_3(8)=max\{g_3(0)+F_2(8),g_3(1)+F_2(7),g_3(2)+F_2(4)\}=35,x_2(x)=2$
$F_3(9)=max\{g_3(0)+F_2(9),g_3(1)+F_2(8),g_3(2)+F_2(5),g_3(3)+F_2(0)\}=37,x_2(x)=2$
$F_3(10)=max\{g_3(0)+F_2(10),g_3(1)+F_2(9),g_3(2)+F_2(6),g_3(3)+F_2(1)\}=37,x_2(x)=2$

备忘录：

因此，问题的解是：在$x_1=1,x_2=2,x_3=2$时，得到$g_1(x_1)+g_2(x_2)+g_3(x_3)$得到最大值37

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7、设A=<$X_1,X_2,\dots ,X_n$> 是n个不等的整数的序列，A的一个单调递增子序列是序列<$X_{i1},X_{i2},\dots ,X_{ik}$ > 使得 $i1<i2<\dots <ik$，且$X_{i1}<X_{i2}<\dots <X_{ik}$. 子序列的长度是指序列中整数的个数。设计算法求最长的单调递增子序列，分析算法复杂度。设输入实例是 A= <2, 8, 4, -4, 5, 9, 11>. 给出算法的计算过程和最后解。
解析：因为需要求最长，并且有条件限制，因此可以用动态规划试试。
使用动态规划技术，对$i=1,2,3...n$(其中i表示元素的序号)，考虑以$x_i$作为最长单调子序列的最后项(结尾)，使用$C[i]$表示以$x_i$为最长子序列的最后项的长度。
则：
$C[i]=max\{1+C[j]\}$，其中i>j>=1
否则(如果不存在i>i>=1,使得$(x_i>x_j)$或i=1时)，$C[i]=1$
使用$k[i]=j$表示当$C[i]$取得最大值的时候，j的取值
对于给定实例：A= <2, 8, 4, -4, 5, 9, 11>
C[1]=1,k[1]=0
$C[2]=max\{1+C[1]\}=2,k[2]=1$
$C[3]=max\{1+C[1]\}=2,k[3]=1$
$C[4]=1,k[4]=0$
$C[5]=max\{1+C[1],C[3]+1,C[4]+1\}=3,k[5]=3$
$C[6]=max\{1+C[1],1+C[2],1+C[3],1+C[4],1+C[5]\}=4,k[6]=5$
$C[7]=max\{1+C[1],1+C[2],1+C[3],1+C[4],1+C[5],1+C[6]\}=5,k[7]=6$
因此，最长子序列长度为5，最长递增子序列为<2,4,5,9,11>
因为，对于每个i，要检索比i小的所有j，需要O(n)的时间，i的取值有n种，因此，时间复杂度为O($n^2$)

i	1	2	3	4	5	6	7
A[i]	2	8	4	-4	5	9	11
C[i]	1	1	1	1	3	4	5
K[i]	0	1	1	0	3	5	6

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8、有n个底面为长方形（各长方形长度表示为 li）的货柜需租用库房存放。如果货柜都需放在地面，且所有货柜的底面宽度等于库房的宽度，库房总长度 D满足：li<=D,$\sum$li>D。 再设第i号货柜的仓储效益是 vi, 请问如何放入库房可以获得最大收益？设计求解算法及伪码。（0-1背包问题）
解析：类似于0-1背包问题，库房的长度相当于背包的容量，每个货柜的效益相当于每个背包的价值：
$max{\sum }_{i=1}^n{v}_i\ast x_i$
$\sum l_i\ast x_i<=D$
令$F_k(y)$表示只允许装前k个货柜，库房长度为y时 的效益最大值：
$F_k(y)=max\{F_{k-1}(y-l_k)+v_k,F_{k-1}(y)\},l_k<=y<=D$
$F_k(y)=F_{k-1}(y),l_k>y$
$F_1(y)=v_i,当l_1<=y时，0,当l_i>y时$

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9、Dijkstra算法要求有向图的边的权是非负实数，请举出反例说明，对于某些含有负数边权的有向 图，Dijkstra不能得到正确的解
解析：Dijkstra最短路径算法对负权图失效，不存在最短路径。

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10、给定n个集合$A_1,...A_n$，每个集合都由连续的正整数构成，即：
$A_i=\{x|a_i<=x<=b_i\},a_i,x,b_i\in Z^{+}i=1,2,....n$
设计一个算法求最小的集合S，使得对于每个i=1,2…n，|$S\cap A_i\ne \varnothing$|，即每个$A_i$至少包含有S中的一个数
解析：这道题目类似于活动问题，都是要找出相容的活动，并把相容的 活动放入结果集中。在本题中，需要找出相容(一个集合的结束值元素大于另一个集合的开始值元素，则称这两个集合相容)的集合，将这些集合的结束值放到结果集中。
使用贪心算法，对$b_i$从小到大进行排序(正如活动问题中按照结束时间由早到晚进行排序)，将$b_i$放入S。将$b_i$记作当前的测试点x，按照顺序依次检查$A_2,...A_n$的$a_1$，若$a_1<=x$,说明S已包含该集合$A_i$中的某个元素(不相容)，否则，说明这两个集合不相容，则把$b_i$加入到S中，并将测试点x赋值新的$b_i$，直到测试完所有集合为止，得到的S即为所求解。

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11、最小重量机器设计问题： 某设备需4种配件，每种一件，且有三个供应商提供这些配件。下表给出相关的价格和每种配件的重量；从中选择4种配件（的供应商），使得总价值不超过120，且总重量最轻。
产品和供应商信息表：

解析:最后问题的解是一个向量(每一种零件选择的对应厂商),设解向量为<$x_1,x_2....x_k$>,$x_i=j$表示第i号零件由j号供应商供货，并且是组合优化问题，也满足多米诺性质，因此可以使用回溯算法。
目标函数：
$min\sum w(x_i)$
$\sum v(x_i)<=120,1<=i<=4$
搜索树：4层，每层边代表一种零件，权值代表供应商编号。

界函数：目前得到的最优解的重量
代价函数：节点<$x_1,x_2,....x_k$>表示已经选择了前k号零件的供应商，正在处理k+1号零件
${\sum }_{i=1}^{k}w(x_i)+{\sum }_{j=k+1}^{n}w(x_j)$

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12、子集和问题. 设n个不同的正数构成集合S,求出使得和为某数M的S的所有子集。
解析：类似于0-1背包问题。设S={$a_1,a_2,....a_n$}，求S满足条件${\sum }_{a_i\in A}{a}_i=M$的所有子集A。用回溯法。
解向量$<x_1,x_2.....x_n>,x_i=0,1$,其中$x_i$=1，当且仅当$a_i$∈A，搜索空间为子集树，部分向量$<x_1,x_2...x_k>$表示已经考虑了对$a_1,a_2,....a_k$的选择，结点分支的约束条件为$B(i)={\sum }_{i=1}^k{a}_i{x}_i<M$,且，$a_{k+1}<S-a_1,a_2,....a_k$
(分支的条件是前面选择进入结果集的元素和小于M，并且后面要加入的元素值要小于能加入的值)

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13、
解析：
对于递推方程$T(n)=7T(n/2)+n^2,a=7,b=2,f(n)=n^2,n^{lo{g}_b^a}=n^{lo{g}_2^7}$，因此，$T(n)=\Theta (n^{lo{g}_2^7})$
对于递推方程$W(n)$也使用主定理，$W(n)=\Theta (n^{lo{g}_4^a})$
若使$lo{g}_4^a<lo{g}_2^7$，有：
$lo{g}_4^a=\frac{lo{g}_2^a}{lo{g}_{2}4}=\frac{lo{g}_2^a}{2}<lo{g}_2^7$,因此，a最大为48

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14、

解析：类似于芯片测试问题，使用分治策略。
算法设计思想：采用分治策略。若n<3,将剩下的硬币与之前比较拿走的硬币相比较，不等的就是不合格的硬币。否则，将n个硬币分成大致相等的3份，如果n%3!=0，则令两份少的相等，取两份相等的放到天平上，如果天平不平衡，说明不合格的硬币在这两堆之中，直接将这两堆合并再进行下一次的分组，否则，说明不合格的硬币在另外一堆，递归处理，直到n<3为止。
伪代码：
算法Coin(A,n) //A是n个硬币的集合

1. k<-$\lfloor n/3\rfloor$
2. 将A中的硬币分为X,Y,Z三个集合，使得|X|=|Y|=k,|Z|=n-2k
3. if W(X)!=W(Y) //说明两堆硬币不相等
4. then A<-X∪Y
5. else A<- Z
6. if n>2 then goto 1
7. else 将A中的硬币与拿走的硬币比较，不等则是不合格的硬币

该算法的递推方程:
$T(n)=T(2n/3)+O(1)$ 每一次划分都划分成了原问题规模的2/3，还需要加上划分的工作量
$T(1)=0,T(2)=1$

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15、设字符集S，其中8个字符A,B,C,D,E,F,G,H的频率是$\frac{1}{100},\frac{1}{100},\frac{2}{100},\frac{3}{100},\frac{5}{100},\frac{8}{100},\frac{13}{100},\frac{21}{100}$，设计这8个字符的Hufffman树和编码
解析：为了方便画图，我们将上面的频率都乘100

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16、概述回溯算法的有关概念

• 回溯算法（what）
  • 按照某种搜索策略搜索解空间得到解的一种技术。常用的搜索策略有深度优先、宽度优先、深宽结合、函数优先等等。
• 基本思想：沿着一条向前走，能走则走，不能走就退回来，试着走其他路。以深度优先的方式遍历子集树。(在一棵具有全部可行解的树中进行深度优先搜索，解为叶子节点。在搜索的过程中，每到达一个节点，就判断以该节点为根的子树是否含有问题的解，若可以确定不含问题的解，则退回到上层父节点，继续下一步深度优先搜索过程)
  • 适用：求解搜索问题和优化问题
  • 搜索空间：树，节点对应部分解向量，可行解在叶子上
  • 搜索过程：采用系统的方法隐含遍历搜索树
  • 搜索策略：深度优先，宽度优先，函数优先，宽深结合等
  • 节点分支判定条件：满足约束条件——分支扩张解向量，不满足约束条件，回溯到该节点的父节点
  • 节点生成：动态生成
  • 存储：当前路径
• 解空间（what）
  • 搜索问题的解所在的集合
• 代价函数（what+why）
  • 计算位置：搜索树的节点
  • 值：极大化问题是以该点为根的子树所有可行解的值的上界(极小化问题为下界)
  • 性质：对极大化问题父节点代价不小于子节点的代价(极小化问题相反)
• 界函数（what+why）
  • 含义：当前得到可行解的目标函数的最大值(极小化问题相反)
  • 初值：极大化问题初值为0(极小化问题为最大值)
  • 更新：得到更好的可行解时
• 多米诺性质（what）——回溯算法适用条件
  • 在结点<$x_1,x_2,....x_k$>处,P($x_1,x_2,....x_k$)为真(前k个解向量满足约束条件)
  • 多米诺性质：P($x_1,x_2,....x_{k+1}$)-》P($x_1,x_2,....x_k$)，0
• 回溯算法的设计步骤
  • 定义解向量和每个分量的取值范围：解向量为<$x_1,x_2,....x_n$>，确定$x_i$的取值集合为$X_i$，i=1,2,3,…n
  • 在<$x_1,x_2,....x_{k-1}$>确定如何计算$x_k$取值集合$S_k,S_k\in X_k$
  • 确定结点儿子的排列顺序
  • 判断是否满足多米诺性质
  • 确定每个结点分支的约束条件
  • 确定搜索策略：深度优先，宽度优先等
  • 确定存储搜索路径的数据结构
• 注意事项：在回溯函数体内，不能改变问题的状态，即进入函数前，状态是s，则完成函数后，状态也是s。回溯算法的使用前提是满足多米诺性质。

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17、总结排序算法的复杂性

排序	最好时间复杂度	平均时间复杂度	最差时间复杂度	空间复杂度	是否稳定	算法比较优秀的情况
冒泡排序	O(n)	O($n^2$)	O($n^2$)	O(1)	是	当待排序数组基本有序，个数较少
选择排序	O($n^2$)	O($n^2$)	O($n^2$)	O(1)	是	与平均时间复杂度一样
快速排序	O(nlogn)	O(nlogn)	O($n^2$)	O(logn)~O(n)	否
插入排序	O(n)	O($n^2$)	O($n^2$)	O(1)	是	当待排序数组基本有序，个数较少
堆排序	O(nlogn)	O(nlogn)	O(nlogn)	O(1)	否
归并排序	O(nlogn)	O(nlogn)	O(nlogn)	O(n)	是	执行效率与要排序的原始数组的有序程度无关,所以其时间复杂度是非常稳定的,不管是最好情况、最坏情况,还是平均情况,时间复杂度都是O(nlogn).
希尔排序	O($n^{1.3}$)	O(nlogn)~O($n^2$)	O($n^2$)	O(1)	否

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18、设计一个动态规划算法计算下面的数列中的F(n)：
F(0)=0,F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2),n>=2

基本思想：将privious(F(n))的值保存起来，因为计算后面的F(n)需要用到前面计算的结果。

1. arr[0]<-0,arr[1]<-1;
2. for i<- 2 to n do
3. 	arr[i]<-arr[i-1]+arr[i-2];

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19、设计一个算法，对于一个给定的包含n个整数的集合S和另一个给定的整数x，该算法可以在O(nlogn)时间内确定S中是否存在两个元素，使得它们的和恰为x
解析：由于算法的时间复杂度为O(nlogn),则可以很容易想到排序算法中有很多O(nlogn)的算法，如快速排序。
基本思路：可以使用快速排序算法对集合S进行从小到大的排序，令i=0，j=length(S)-1，即i和j分别指向集合S的首尾，比较S[i]+S[j]与x的大小，若S[i]+S[j]x，则j–，直到找到S[i]+S[j]=x或者i>j停止。
分析算法的时间复杂度：排序算法的时间复杂度为O(nlogn)，遍历数组O(n),比较O(n)，因此算法的复杂度为O(nlogn)+O(n)+O(n)-》O(nlogn),因此，满足题目要求。

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
//快排 时间复杂度O(nlogn)
void quick_sort(int* arr, int l, int r) {
    if (l >= r) return;
    while (l < r) {
        int x = l, y = r;
        int z = arr[l];
        do {
            while (x <= y && arr[x] < z) x++;
            while (x <= y && arr[y] > z) y--;
            if (x <= y) {
                int temp = arr[x];
                arr[x] = arr[y];
                arr[y] = temp;
                x++, y--;
            }
        } while (x <= y);
        quick_sort(arr, l, y);
        l = x;
    }
}
//判断是否满足条件 O(n)时间复杂度
bool is_ok(int* A, int x, int len) {
	quick_sort(A, 0, len - 1);
	int i = 0, j = len - 1;
	while (i < j) {
		if (A[i] + A[j] == x) return true;
		else if (A[i] + A[j] > x) j--;
		else i++;
	}
	return false;
}

int main() {
	int A[8] = {3, 41, 52, 26, 38, 57, 9, 49};
	int x;
	while (scanf("%d", &x) != EOF) {
		printf("%d\n", is_ok(A, x, 8));
	}

	return 0;
}

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20、利用差消法求递推方程

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21、分治策略的典型例子：芯片测试
有n片芯片，已知好芯片至少比坏芯片多1片，如何实现找出一片好芯片(要求使用最少的测试次数)。

基本思想：将n片芯片分成$\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$组，让每两两进行测试，如果测试结果为1好1坏或两个都是坏，则直接丢弃这一组，如果两个都报告好，那么从该组中随机选择一片。不断重复上述步骤。当n=3时，任取两片进行测试，报告1好1坏或2坏，都取未测试的芯片，若报告2好，则随机取一个。若n=2或n=1，随机取一片即为好芯片。
时间复杂度：O(n)
$W(n)=W(n/2)+O(n)$
$W(3)=1,W(1)=W(2)=0$
伪代码：

1. k<-n
2. while k>3 do 
3. 	将芯片分成k/2组  //如有轮空芯片，单独测试，根据情况丢弃或保留
4.  for i<-1 to k/2 do 
5. 		if 2片好，则任取一片留下
6. 		else 2片同时丢弃
7. 	k<- 此时剩下的芯片数
8. if k=3
9. 	then 任取2片芯片测试
10.		if 2好，任取一片被测芯片
11.		else 取未测试的芯片
12.	if k=1或k=2,任取一片 

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22、经典的分治例子：幂乘问题
输入：a为给定实数，n为自然数
输出：$a^n$
该分治问题的设计思想：若n是偶数，则只要计算$a^{n/2}$就可以了，剩下的$a^{n/2}$可以直接照搬之前的结果。若n是奇数，则只需要计算$a^{n-1/2}$就可以了，然后最后结果还要多乘一个a。

时间复杂度：$W(n)=\Theta (logn)$
$W(n)=W(n/2)+\Theta (1)$

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23、典型的动态规划问题：投资问题
5万元钱，4项目投资，$f_i(x)$:将x元投给第i个项目的效益。求使得总效益最大的投资方案。
效益函数如下：

解析：
k：对项目1,2,…k的投资
x：投资总钱数不超过x
$F_k(x)$:x元钱投给前k个项目的最大效益。
令$x_k(x)$为当$F_k(x)$取最大值时，$x_k$的取值
因此，递推方程和边界条件为：
$F_k(x)=max\{f_k(x_k)+F_{k-1}(x-x_k)\},k>1,0<=x_k<=x$
$F_1(x)=f_1(x)$
当k=1时：
$F_1(0)=0,F_1(1)=11,F_1(2)=12,F_1(3)=13,F_1(4)=14,F_1(5)=15$
当k=2时：
$F_2(0)=0,F_2(1)=max\{f_2(0)+F_1(1),f_2(1)+F_1(0)\}=11x_2(1)=0$
$F_2(2)=max\{f_2(0)+F_1(2),f_2(1)+F_1(1),f_2(2)+F_1(0)\}=12,x_2(2)=0$
$F_2(3)=max\{f_2(0)+F_1(3),f_2(1)+F_1(2),f_2(2)+F_1(1),f_2(3)+F_1(0)\}=16,x_2(3)=2$
$F_2(4)=max\{f_2(0)+F_1(4),f_2(1)+F_1(3),f_2(2)+F_1(2),f_2(3)+F_1(1),f_2(4)+F_1(0)\}=21,x_2(4)=3$
$F_2(5)=max\{f_2(0)+F_1(5),f_2(1)+F_1(4),f_2(2)+F_1(3),f_2(3)+F_1(2),f_2(4)+F_1(1),f_{(}5)+F_1(0)\}=26,x_2(5)=4$
同理，当k=3,4的时候如此。
备忘录：

因此，5万元分给4个项目的最大效益为61万元。每个项目的分配方案为：<1,0,3,1>
备忘录中有m行n列：时间复杂度分析：W(n)=$O(n{m}^2)$

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24、动态规划求解背包问题
物品n种，每种的重量和价值分别为$w_i,v_i$，如果背包最大限重为b，每种物品可以放多个，怎么选择放入的物品使得背包价值最大？
假设n=4，b=10，
$v_1=1,v_2=3,v_3=5,v_4=9$
$w_1=2,w_2=3,w_3=4,w_4=7$
解析：
目标函数：$max{\sum }_{i=1}^n{v}_i{x}_i$
约束条件：${\sum }_{i=1}^n{w}_i{x}_i<=b,x_i\in N$
k：考虑对物品1，2，…k的选择
y：背包总重量不超过y
$F_k(y)$：表示前k种物品，总重不超过y背包达到的最大价值
$F_k(y)=max\{F_{k-1}(y-w_k)+v_k,F_{k-1}(y)\}$
$F_0(y)=0,0<=y<=b,F_k(0)=0,0<=k<=n$
$F_1(y)=\lfloor y/w_1\rfloor v_1,F_k(y)=-\infty ,y<0$

时间复杂度为O(nb)

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25、动态规划之最长公共子序列问题
X：A B C B D A B
Y：B D C A B A
最长公共子序列为：B C B A ，长度为4
令X与Y的子序列$X_i=<x_1,x_2....x_i>,Y_j=<y_1,y_2,....y_j>$
$C[i,j]=0,若i=0或j=0$
$C[i,j]=1+C[i-1,j-1],若i,j>0,x_i=x_j$
$C[i,j]=max\{C[i-1,j],C[i,j-1]\},若i,j>0,x_i\ne x_j$

时间复杂度：O(mn)

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26、动态规划之最大字段和问题：
$C[i]$表示为以A[i]为最大子段结尾的最大子段和
递推方程：
$C[i]=max\{A[i],A[i]+C[i-1]\},i=1,2,...n$
C[1]=A[1],若A[1]>0
C[1]=0 否则
解：$OPT(A)=maxC[i],1<=i<=n$
时间复杂度为O(n)

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27、对于下列数组使用快速排序算法，写出每一次划分的结果。并简单描述快速排序的基本思想

快速排序的基本思想：(是一种分治策略)将待排序的数组经过一趟排序分成独立的两个部分，一个部分比关键字小，一个部分比关键字大，然后可以分别对这两部分的记录进行排序，以达到整个数组的有序。
第一次划分：2 1 3 4 8 7 6 5
第二次划分：1 2 3 4 5 7 6 8
第三次划分：1 2 3 4 5 7 6 8
第四次划分：1 2 3 4 5 6 7 8

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28、在下面的有向图中应用算法Dijstra。假设顶点1是起始顶点。


从节点1出发到节点1,2,3,4,5的最短距离为0,2,5,11,10,14

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29、各种关于算法的基本概念：

• 算法的特点：确定性、有穷性、可行性、0到多个输入、1到多个输出。
• 问题：所有实例构成的抽象描述(含参数和解的描述)

分治策略的基本思想：

• 将原始问题划分或者归结为规模较小的子问题，每个子问题相互独立并且与原问题相同
• 递归或迭代求解每个子问题
• 将子问题的解综合得到原问题的解

使用动态优化算法的原则是：具有最优子结构性质(某个问题的最优解包含子问题的最优解。)

设计动态规划算法的主要步骤：

• 问题具有最优子结构性质。
• 构造最优值的递归关系表达式。
• 最优值的算法描述。
• 构造最优解。

动态规划算法的基本要素是最优子结构性质和子问题重叠性质。
贪心算法的基本要素是贪心选择性质和最优子结构性质。

请简述你对算法复杂性概念的认识：
算法复杂性是指算法运行所需要计算机资源的量。需要时间资源的量称为时间复杂性，需要的空间资源的量，称为空间复杂性。
时间复杂性和空间复杂性是衡量算法效率的两个重要指标。一般的，我们认为时间复杂度越小，算法的效率越高；空间复杂度越小，算法的效率越高。但是在实际中，我们很难保证一个算法既有好的时间复杂度又有好的空间复杂度，所以评判一个算法的好坏，还需要在具体环境中。若环境对空间的要求很苛刻，那么我们往往会牺牲时间换空间，反之亦如此。

在算法复杂性研究中，衡量输入问题的大小的常用方法有哪些？

• 排序问题中，待排序数组元素的数目
• 图的算法中，边或顶点的个数
• 计算几何中，点、顶点、边、线段、或多边形数目
• 矩阵预算中，矩阵的维数
• 数论和密码学中，输入的比特数

最优算法的定义是什么？请举出一个最优算法的例子说明。
如果可以证明一个问题I的算法必然是$\Omega (f(n))$的，那么在$O(f(n))$时间内解决问题I的算法称为问题I的最优算法。对n大小的数组排序的问题是$\Omega (nlogn)$，而归并排序算法的时间复杂度为$O(nlogn)$，因此，归并排序是基于比较排序的最优算法。

请给出回溯算法的主要步骤和适用范围：
回溯算法适用于搜索问题和优化问题。
解析：
回溯算法的一般步骤：

• 将解空间表示成一棵树(解空间树)，求解问题就转换为在树T中搜索解对应的结点
• 定义剪枝操作(考虑约束条件和目标值两方面)
• 从树T的根节点开始，用深度优先法搜索该树，而跳过肯定不包含问题的解对应的节点的子树的搜索(剪枝)，以提高效率。

请给出衡量算法性能的几个标准：
正确性、易读性、健壮性、算法的时间复杂度和空间复杂度。

在算法复杂性研究中，基本运算的概念是什么？不同问题中常用的基本运算是什么?
解析：如果在一个算法中一个元运算具有最高频率，所有其他的元运算频率均在他的频度的常数倍内，则称这个元运算是基本运算。
常选取的基本运算有：

• 在搜索和排序算法中，选取比较运算作为基本运算
• 在矩阵乘法中，选取数乘运算作为基本运算
• 在遍历一个链表中，选取设置或更新指针作为基本运算
• 在图的遍历中，选取访问节点动作为基本运算

请简述你对时间复杂性渐进表示方法的常用符号及其含义：