斐波那契数列专题。。

斐波那契数列很容易理解，不过由它演变的题目很多。。。

一般出的题目给的数据都很大，就是让你找规律。。。

前两天校赛的时候出了一道题目。。 不死兔子。。参见zzuli-oj 1478题

就是让求F(n)%m，然后n会很大，能达到10^8;

这样的题目很明显的就是找循环节。。

不过当时不知道是和前面的两三项进行比较， 以为还会和中间的相等（就是从中间开始循环）， 写了一个双层for循环，直到最后，程序也没能运行出来。。

后来听同学说只需要和前面2,3项进行判断就行， 至于为什么呢，我也无从得知。。。

最后写了一层for循环，很容易的就找到了循环节，AC了。。。。

还有一种类型的题目。。。Fibonacci 。。。 参见hdu -oj 1568

这道题是让求F(n)的最前面4项，比上面的那道题目有难度。。

没想到什么好的方法，参见了资料：

先看对数的性质,loga(b^c)=c*loga(b),loga(b*c)=loga(b)+loga(c);
假设给出一个数10234432,那么log10(10234432)=log10(1.0234432*10^7)=log10(1.0234432)+7;

log10(1.0234432)就是log10(10234432)的小数部分.

log10(1.0234432)=0.010063744
10^0.010063744=1.023443198
那么要取几位就很明显了吧~
先取对数(对10取),然后得到结果的小数部分bit,pow(10.0,bit)以后如果答案还是<1000那么就一直乘10。
注意偶先处理了0~20项是为了方便处理~

这题要利用到数列的公式:an=(1/√5) * [((1+√5)/2)^n-((1-√5)/2)^n](n=1,2,3.....)

取完对数

log10(an)=-0.5*log10(5.0)+((double)n)*log(f)/log(10.0)+log10(1-((1-√5)/(1+√5))^n)其中f=(sqrt(5.0)+1.0)/2.0;
log10(1-((1-√5)/(1+√5))^n)->0
所以可以写成log10(an)=-0.5*log10(5.0)+((double)n)*log(f)/log(10.0);
最后取其小数部分。

 

看了这个资料，很惊讶，斐波那契数列竟然存在神马递推公式。。。

然后根据资料很容易就把这个题目给A了。。

代码：

# include<stdio.h>

# include<math.h>

int f[25];

# define PI (sqrt(5.0)+1.0)/2

int main()

{

	int i,n;

	double bit;

	f[0]=0;

	f[1]=1;

	for(i=2;i<=20;i++)

	{

		f[i]=f[i-1]+f[i-2];

	}

	while(scanf("%d",&n)!=EOF)

	{

		if(n<=20) printf("%d\n",f[n]);

		else 

		{

			bit=-0.5*log10(5.0) + ((double)n)*log10(PI);

			bit = bit-(int)bit;

			bit= pow(10,bit);

			while(bit<1000) bit*=10;

			printf("%d\n",(int)bit);

		}

	}

	return 0;

}