旅行商(TSP)问题建模和子路径(subtour)消除约束详解
文章目录
- 1、TSP问题描述
- 2、TSP问题建模
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- 2.1 参数定义
- 2.2 变量定义
- 2.3 模型建模
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- 2.3.1 目标函数
- 2.3.2 约束条件
- 3、 子路径消除约束
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- 3.1 子路径消除不等式一
- 3.2 子路径消除不等式二
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- THE END. THANKS FOR WATCHING.
1、TSP问题描述
\qquad TSP问题为travelling salesman Problem的缩写，问题描述为：一名旅行商需要从他的住址(home)出发，游历n个城市，之后再返回home。已知所有城市间的旅行成本，问题目标为：这位旅行商应该选择怎样的线路旅游，才能花最少的钱游历一遍所有的城市？
2、TSP问题建模
2.1 参数定义
\qquad 定义城市的总个数为： n n n，从城市 i i i到城市 j j j的旅行成本为： C i j ， i ∈ n ， j ∈ n C_{ij}，i\in n，j\in n Cij，i∈n，j∈n。
2.2 变量定义
\qquad 定义0-1变量 x i j = { 1 ， i f 旅 行 商 从 城 市 i 到 城 市 j 0 ， i f 旅 行 商 不 从 城 市 i 到 城 市 j x_{ij}=\left\{ \begin{matrix} 1，if旅行商从城市i到城市j\\ 0，if旅行商不从城市i到城市j \end{matrix} \right. xij={1，if旅行商从城市i到城市j0，if旅行商不从城市i到城市j
2.3 模型建模
2.3.1 目标函数
m i n i m i z e C i j x i j minimize \quad C_{ij}x_{ij} minimizeCijxij
\qquad 目标函数表示最小化旅行总费用。
2.3.2 约束条件
∑ j ≠ i x i j = 1 , i ∈ n ( 1 ) \sum_{j\neq i} {x_{ij}=1, \ i\in n} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (1) j=i∑xij=1, i∈n(1)
\qquad 约束条件(1)表示每一个城市 i i i需要离开一次。
∑ i ≠ j x i j = 1 , j ∈ n ( 2 ) \sum_{i\neq j} {x_{ij}=1, \ j\in n}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (2) i=j∑xij=1, j∈n(2)
\qquad 约束条件(2)表示每一个城市 i i i需要进入一次。
\qquad 若仅仅考虑上述问题情景中的描述要去，则约束(1)和(2)已经满足所有条件，但是会出现子路径的情况
\qquad 如上图所示，旅行商从红色城市出发，上述的路径满足所有的约束条件，但是明显不符合实际情况，所以需要添加额外的子路径消除约束来避免上述情况的发生。
3、 子路径消除约束
3.1 子路径消除不等式一
∑ i ∈ S ∑ j ∉ S x i j ≥ 1 , S ⊂ N = { 1 , 2 , . . . , n } , S ≠ ∅ ( 3 ) \sum_{i\in S}\sum_{j\notin S} {x_{ij}\geq1, \, S\subset N=\{1,2,...,n\},S\neq\emptyset} \qquad\qquad (3) i∈S∑j∈/S∑xij≥1,S⊂N={1,2,...,n},S=∅(3)
\qquad 解释： 对于每一个非空集合 S S S， S S S中城市的个数最多为 n − 1 n-1 n−1个，从 S S S中流出的弧的个数必定大于或者等于一条。将上述图中的子路径的情况套用到这个不等式上，很明显会违反不等式一，所以将这条不等式加入到模型中能够有效消除子路径问题。同时，不等式一会添加的约束个数为：
c n 1 + c n 2 + . . . + c n n − 1 = 2 n − 2 c_{n}^{1}+c_{n}^{2}+...+c_{n}^{n-1}=2^{n}-2 cn1+cn2+...+cnn−1=2n−2条约束。
3.2 子路径消除不等式二
∑ i ∈ S ∑ j ∈ S x i j ≤ ∣ S ∣ − 1 , S ⊂ N = { 1 , 2 , . . . , n } , 2 ≤ ∣ S ∣ ≤ n − 1 ( 4 ) \sum_{i\in S}\sum_{j\in S} {x_{ij}\leq|S|-1, \, S\subset N=\{1,2,...,n\},\,2\leq|S|\leq n-1} \qquad (4) i∈S∑j∈S∑xij≤∣S∣−1,S⊂N={1,2,...,n},2≤∣S∣≤n−1(4)
\qquad 解释： 对于每一个集合 S S S， S S S相互链接的弧的个数最多为 ∣ S ∣ − 1 |S|-1 ∣S∣−1条，即只有当 S S S中的城市的个数为 n n n个时，才允许构成环路，这样不等式二也可以避免上述图中的情况发生。同时，不等式二会添加的约束个数为：
c n 2 + c n 3 + . . . + c n n − 1 = 2 n − 2 − n c_{n}^{2}+c_{n}^{3}+...+c_{n}^{n-1}=2^{n}-2-n cn2+cn3+...+cnn−1=2n−2−n条约束。