泰勒展开练习

设$a=2\ln (1.01),b=\ln (1.02),c=\sqrt{1.04}-1$，则（ \quad ）

$A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b$

解：
$\ln (1+x)$带皮亚诺余项的$3$阶麦克劳林展开为

$$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$$

则

$$\ln (1.01)\approx 0.01-\frac{0.01^2}{2}+\frac{0.01^3}{3}$$

$$\ln (1.02)\approx 0.02-\frac{0.02^2}{2}+\frac{0.02^3}{3}$$

$a=2\ln (1.01)\approx 0.02-0.01^2+\frac{2}{3}\times 0.01^3$

$b=\ln (1.02)\approx 0.02-2\times 0.01^2+\frac{3}{4}\times 0.01^3$

$\sqrt{1+x}$带皮亚诺余项的$3$阶麦克劳林展开为

$$\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}{x}^2+\frac{1}{16}{x}^3+o(x^3)$$

$c=\sqrt{1.04}-1=1+\frac{1}{2}\times 0.4-\frac{1}{8}\times 0.4^2+\frac{1}{16}\times 0.04^3-1=0.2-2\times 0.01^2+4\times 0.01^3$

\qquad 所以$a>c>b$，选$B$。