一阶常系数微分方程组的笔记

一、一阶线性常系数齐次微分方程组

1.1 基本定义

$$\{\begin{array}{c}\frac{\mathbf{d}{x}_1(t)}{\mathbf{d}t}=a_{11}{x}_1(t)+a_{12}{x}_2(t)+\cdots +a_{1n}{x}_n(t)\\ \frac{\mathbf{d}{x}_2(t)}{\mathbf{d}t}=a_{21}{x}_1(t)+a_{22}{x}_2(t)+\cdots +a_{2n}{x}_n(t)\\ ⋮\\ \frac{\mathbf{d}{x}_n(t)}{\mathbf{d}t}=a_{n1}{x}_1(t)+a_{n2}{x}_2(t)+\cdots +a_{nn}{x}_n(t)\end{array}$$

给定初始条件：$x_i(0),(i=1,2,\cdots ,n)$。

记 $$\begin{array}{l}\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right)\in {\mathbf{C}}^{n\times n},\\ \mathbf{X}(0)={\left(x_1(0),x_2(0),\cdots ,x_n(0)\right)}^T\\ \mathbf{X}(t)={\left(x_1(t),x_2(t),\dots ,x_n(t)\right)}^T\end{array}$$

则上述微分方程组可以写成：
$$\{\begin{array}{l}{\mathbf{X}}^{\prime }(t)=\mathbf{A}\mathbf{X}(t)\\ \mathbf{X}(0)={\left(x_1(0),x_2(0),\dots ,x_n(0)\right)}^T\end{array}$$

1.2 解的存在性

利用矩阵微分性质有
$${\left(e^{-\mathbf{A}t}\mathbf{X}(t)\right)}^{\prime }=-e^{-\mathbf{A}t}\mathbf{A}\cdot \mathbf{X}(t)+e^{-\mathbf{A}t}{\mathbf{X}}^{\prime }(t)=e^{-\mathbf{A}t}\left({\mathbf{X}}^{\prime }(t)-\mathbf{A}\mathbf{X}(t)\right)$$

故 ${\left(e^{-\mathbf{A}t}\mathbf{X}(t)\right)}^{\prime }=0$，因此 $\mathbf{X}(\mathrm{t})=e^{At}\mathbf{C}$

由初始条件，$\mathbf{C}=\mathbf{X}(0)$，其中 $\mathbf{C}$ 为常数向量。

1.3 解的唯一性

如果定解问题有两个解 ${\mathbf{X}}_1(t)$，${\mathbf{X}}_2(t)$，则令

$$\mathbf{Y}(t)={\mathbf{X}}_1(t)-{\mathbf{X}}_2(t)$$

满足

$$\{\begin{array}{l}{\mathbf{Y}}^{\prime }(t)={\mathbf{X}}_1^{\prime }(t)-{\mathbf{X}}_2^{\prime }(t)=A{\mathbf{X}}_1(t)-A{\mathbf{X}}_2(t)=\mathbf{AY}(t)\\ \mathbf{Y}(0)={\mathbf{X}}_1(0)-{\mathbf{X}}_2(0)=0\end{array}$$

类似推导可知，$\mathbf{Y}(t)=e^{\mathbf{A}t}\mathbf{Y}(0)=0$，即 ${\mathbf{X}}_1(t)={\mathbf{X}}_2(t)$。

1.4 结论

一阶线性常系数齐次微分方程组的定解问题有唯一解
$$\mathbf{X}(t)=e^{\mathbf{A}t}\mathbf{X}(0)$$

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二、一阶线性常系数非齐次微分方程组

2.1 基本定义

$$\{\begin{array}{l}{\mathbf{X}}^{\prime }(t)=\mathbf{A}\mathbf{X}(t)+\mathbf{F}(t)\\ \mathbf{X}\left(t_0\right)={\left(x_1\left(t_0\right),x_2\left(t_0\right),\dots ,x_n\left(t_0\right)\right)}^T\end{array}$$

这里 $\mathbf{F}(t)={\left(f_1(t),f_2(t),\cdots ,f_n(t)\right)}^T$ 是已知的向量函数，$\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{X}$ 意义同前。

2.2 解的存在性

$${\left(e^{-\mathbf{A}t}\mathbf{X}(t)\right)}^{\prime }=e^{-\mathbf{A}t}\left({\mathbf{X}}^{\prime }(t)-\mathbf{A}\mathbf{X}(t)\right)=e^{-\mathbf{A}t}\mathbf{F}(t)$$

对此方程在 $[t_0,t]$ 上进行积分，可得
$$e^{-\mathbf{A}t}\mathbf{X}(t)-e^{-\mathbf{A}{t}_0}\mathbf{X}\left(t_0\right)={\int }_{t_0}^t{e}^{-\mathbf{A}\tau }\mathbf{F}(\tau )\mathrm{d}\tau$$

上述定解问题的解
$$\mathbf{X}(t)=e^{\mathbf{A}\left(t-t_0\right)}\mathbf{X}\left(t_0\right)+{\int }_{t_0}^t{e}^{\mathbf{A}(t-\tau )}\mathbf{F}(\tau )\mathrm{d}\tau$$

解答的唯一性和结论已经忽略。

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三、例题

例1 求定解问题 $\{\begin{array}{l}{\mathbf{X}}^{\prime }(t)=\mathbf{A}\mathbf{X}(t)\\ \mathbf{X}(0)=(1,1,1{)}^T\end{array}$，其中 A = ( 3 − 1 1 2 0 − 1 1 − 1 2 ) A=\left(\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{array}\right) A= ​321​−10−1​1−12​ ​

解 $$\det (\lambda \mathbf{I}-\mathbf{A})=\lambda (\lambda -2)(\lambda -3)$$

特征根 ${\lambda }_1=0,{\lambda }_2=2,{\lambda }_3=3$，相应的三个线性无关的特征向量分别为：
$${\mathbf{X}}_1=(1,5,2{)}^T,{\mathbf{X}}_2=(1,1,0{)}^T,{\mathbf{X}}_3=(2,1,1{)}^T$$

故
T = ( 1 1 2 5 1 1 2 0 1 ) , T − 1 = − 1 6 ( 1 − 1 − 1 − 3 − 3 9 − 2 2 − 4 ) \boldsymbol{T}=\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 2 \\ 5 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}\right), \quad \boldsymbol{T}^{-1}=-\frac{1}{6}\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -1 \\ -3 & -3 & 9 \\ -2 & 2 & -4 \end{array}\right) T= ​152​110​211​ ​,T−1=−61​ ​1−3−2​−1−32​−19−4​ ​

所求的解为
X = e A t X ( 0 ) = T ( 1 e 2 t e 3 t ) T − 1 X ( 0 ) = − 1 6 ( − 1 + 3 e 2 t − 8 e 3 t − 5 + 3 e 2 t − 4 e 3 t − 2 − 4 e 3 t ) \begin{array}{l} \boldsymbol{X}=e^{\mathbf{A t}} \boldsymbol{X}(0)=\boldsymbol{T}\left(\begin{array}{lll} 1 & & \\ & e^{2 t} & \\ & & e^{3 t} \end{array}\right) \boldsymbol{T}^{-1} \boldsymbol{X}(0)=-\frac{1}{6}\left(\begin{array}{l} -1+3 e^{2 t}-8 e^{3 t} \\ -5+3 e^{2 t}-4 e^{3 t} \\ -2-4 e^{3 t} \end{array}\right) \end{array} X=eAtX(0)=T ​1​e2t​e3t​ ​T−1X(0)=−61​ ​−1+3e2t−8e3t−5+3e2t−4e3t−2−4e3t​ ​​

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例2 求定解问题$\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}\mathbf{X}(t)}{\mathrm{d}t}=\mathbf{A}\mathbf{X}(t)+\mathbf{F}(t)\\ \mathbf{X}(0)=(1,1,1{)}^T\end{array}$ 的解，其中 $A$ 如上例，$\mathbf{F}(t)={\left(0,0,e^{2t}\right)}^T$。

解 该问题的定解为 $\mathbf{X}(t)=e^{\mathbf{A}t}\mathbf{X}(0)+{\int }_0^t{e}^{\mathbf{A}(t-\tau )}\mathbf{F}(\tau )\mathrm{d}\tau$

e A ( t − τ ) F ( τ ) = T e [ J ( t − τ ) ] T − 1 F ( τ ) = ( 1 1 2 5 1 1 2 0 1 ) ( 1 e 2 ( t − τ ) e 3 ( t − τ ) ) ( − 1 6 ) ( 1 − 1 − 1 − 3 − 3 9 − 2 2 − 4 ) ( 0 0 e 2 τ ) = − 1 6 ( − e 2 τ + 9 e 2 t − 8 e 3 t − τ − 5 e 2 τ + 9 e 2 t − 4 e 3 t − τ − 2 e 2 τ − 4 e 3 t − τ ) 。 \begin{aligned} e^{\mathbf{A}(t-\tau)} \boldsymbol{F}(\tau) & =\boldsymbol{T} e^{[J(t-\tau)]} \boldsymbol{T}^{-1} \boldsymbol{F}(\tau) \\ & =\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 2 \\ 5 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{lll} 1 & & \\ & e^{2(t-\tau)} & \\ & & e^{3(t-\tau)} \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} -\frac{1}{6} \\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -1 \\ -3 & -3 & 9 \\ -2 & 2 & -4 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ e^{2 \tau} \end{array}\right)=-\frac{1}{6}\left(\begin{array}{l} -e^{2 \tau}+9 e^{2 t}-8 e^{3 t-\tau} \\ -5 e^{2 \tau}+9 e^{2 t}-4 e^{3 t-\tau} \\ -2 e^{2 \tau}-4 e^{3 t-\tau} \end{array}\right) 。 \end{aligned} eA(t−τ)F(τ)​=Te[J(t−τ)]T−1F(τ)= ​152​110​211​ ​ ​1​e2(t−τ)​e3(t−τ)​ ​(−61​​) ​1−3−2​−1−32​−19−4​ ​ ​00e2τ​ ​=−61​ ​−e2τ+9e2t−8e3t−τ−5e2τ+9e2t−4e3t−τ−2e2τ−4e3t−τ​ ​。​

对变量 $\tau$ 从 0 到 $t$ 进行积分，即得
P = − 1 6 ( 1 2 + ( 9 t + 15 2 ) e 2 t − 8 e 3 t 5 2 + ( 9 t + 3 2 ) e 2 t − 4 e 3 t 1 + 3 e 2 t − 4 e 3 t ) \boldsymbol{P}=-\frac{1}{6}\left(\begin{array}{l} \frac{1}{2}+\left(9 t+\frac{15}{2}\right) e^{2 t}-8 e^{3 t} \\ \frac{5}{2}+\left(9 t+\frac{3}{2}\right) e^{2 t}-4 e^{3 t} \\ 1+3 e^{2 t}-4 e^{3 t} \end{array}\right) P=−61​ ​21​+(9t+215​)e2t−8e3t25​+(9t+23​)e2t−4e3t1+3e2t−4e3t​ ​
因此 $\mathbf{X}(t)=e^{\mathbf{A}t}\mathbf{X}(0)+\mathbf{P}$

X ( t ) = − 1 6 ( − 1 2 + ( 9 t + 21 2 ) e 2 t − 16 e 3 t − 5 2 + ( 9 t + 9 2 ) e 2 t − 8 e 3 t − 1 + 3 e 2 t − 8 e 3 t ) X(t)=-\frac{1}{6}\left(\begin{array}{l} -\frac{1}{2}+\left(9 t+\frac{21}{2}\right) e^{2 t}-16 e^{3 t} \\ -\frac{5}{2}+\left(9 t+\frac{9}{2}\right) e^{2 t}-8 e^{3 t} \\ -1+3 e^{2 t}-8 e^{3 t} \end{array}\right) X(t)=−61​ ​−21​+(9t+221​)e2t−16e3t−25​+(9t+29​)e2t−8e3t−1+3e2t−8e3t​ ​