蓝桥杯第22天（Python）（疯狂刷题第5天）
题型：
1.思维题/杂题：数学公式，分析题意，找规律
2.BFS/DFS：广搜（递归实现），深搜（deque实现）
3.简单数论：模，素数（只需要判断到 int（sqrt（n））+1），gcd，lcm，快速幂（位运算移位操作），大数分解（分解为质数的乘积）
4.简单图论：最短路（一对多（Dijstra，临接表，矩阵实现），多对多（Floyd，矩阵实现）），最小生成树（并查集实现）
5.简单字符串处理：最好转为列表操作
6.DP：线性DP，最长公共子序列，0/1背包问题，最长连续字符串，最大递增子串
7.基本算法：二分，贪心，组合，排列，前缀和，差分
8.基本数据结构：队列，集合，字典，字符串，列表，栈，树
9.常用模块：math，datetime，sys中的设置最大递归深度（sys.setrecursionlimit(3000000)），collections.deque（队列），itertools.combinations（list,n）（组合），itertools.permutations（list,n）（排列） heapq（小顶堆）
目录
1.裁纸刀（思维）
2.寻找整数
3.《质因数个数》真题练习（大数分解）
4.《矩形拼接》真题练习（枚举遍历）
5.《消除游戏》（暴力循环）编辑
6.重新排序（差分数组，贪心）
7.《全排列的价值》真题练习（数学定理，思维）
8. 《最长不下降子序列》真题练习（DP）
9.《最优清零方案》真题练习（暴力，线段树）
10.《数的拆分》真题练习
1.裁纸刀（思维）
裁的次数是一定的！找规律打印输出即可。
2.寻找整数
import sys #设置递归深度
import collections #队列
import itertools # 排列组合
import heapq #小顶堆
import math
sys.setrecursionlimit(300000)
import functools # 自定义比较函数 -1不变，1交换
def lcm(x,y):
return x//math.gcd(x,y)*y
x=3
step=1
b=[0,0,
1,2,1,4,5,4,1,2,9,0,5,10,
11,14,9,0,11,18,9,11,11,15,17,9,
23,20,25,16,29,27,25,11,17,4,29,22,
37,23,9,1,11,11,33,29,15,5,41,46
]
'''
3 5 7 8 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 2递增
5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 3递增筛选 5 11 17 23
5 9 13 17 21 25 29 33 4递增 5 17 29
'''
for i in range(2,50): # 类似埃式筛法
while x %i !=b[i]:
x+=step
step=lcm(step,i) # 更新步长
print(x)
暴力遍历或者找规律，根据前面几个找规律
3.《质因数个数》真题练习（大数分解）
标程：
n = int(input())
ans = 0
#从2开始进行质因子分解
i = 2
while i * i <= n:
if n % i == 0:
ans += 1
while n % i == 0:
n //= i
i += 1
if n != 1:
ans += 1
print(ans)from random import randint
from math import gcd
def witness(a, n):
u = n - 1
t = 0
while u % 2 == 0:
u = u // 2
t += 1
x1 = pow(a, u, n)
for i in range(1, t + 1):
x2 = x1 * x1 % n
if x2 == 1 and x1 != 1 and x1 != n - 1:
return True
x1 = x2
if x1 != 1:
return True
return False
#miller_rabin素性测试 对数字n进行s次测试
def miller_rabin(n, s = 5):
if n < 2:
return False
if n == 2:
return True
if n % 2 == 0:
return False
for i in range(s):
a = randint(1, n - 1)
if witness(a, n):
return False
return True
#返回一个因子，不一定是素因子
def pollard_rho(n):
i, k = 1, 2
c = randint(1, n - 1)
x = randint(0, n - 1)
y = x
while True:
i += 1
x = (x * x + c) % n
d = gcd(abs(x - y), n)
if d != 1 and d != n:
return d
if y == x:
return n
if i == k:
y = x
k = k * 2
factor = []
#找所有的素因子
def findfac(n):
if miller_rabin(n):
factor.append(n)
return
p = n
while p >= n:
p = pollard_rho(p)
findfac(p)
findfac(n // p)
n = int(input())
findfac(n)
print(len(set(factor)))4.《矩形拼接》真题练习（枚举遍历）
依次考虑4条边，6条边，8条边对应的情况，枚举遍历
标程：
T = int(input())
while T != 0:
T -= 1
a = list(map(int, input().split()))
a = [[a[0],a[1]], [a[2],a[3]], [a[4],a[5]]]
ans = 8
#枚举第一个矩形下标为i，第二个矩形下标为j，第三个矩形下标为k
for i in range(3):
for j in range(3):
for k in range(3):
if i == j or i == k or j == k:
continue
#枚举三个矩形的两条边
for ii in range(2):
for jj in range(2):
for kk in range(2):
if a[i][ii] == a[j][jj]:
ans = min(ans, 6)
if a[i][ii] == a[k][kk]:
ans = min(ans, 4)
if a[i][ii] == a[j][jj] + a[k][kk]:
ans = min(ans, 6)
if a[j][1 - jj] == a[k][1 - kk]:
ans = min(ans, 4)
print(ans)5.《消除游戏》（暴力循环）
暴力循环 ，扫一轮，看哪些是边缘字符，记录下标，完成扫描后删除，完成后继续循环遍历，退出条件：当前字符为空或者循环一次后长度不变。
标程：
s = list(input())
last_length = 0
while True:
length = len(s)
#如果长度等于0，终止
if length == 0:
print("EMPTY")
break
#如果长度未发生变化，终止
if length == last_length:
print("".join(s))
break
vis = [0] * length
#根据题意找出边缘字符
for i in range(length):
if (i - 1) >= 0 and (i + 1) < length and s[i] == s[i - 1] and s[i] != s[i + 1]:
vis[i] = vis[i + 1] = 1
if (i - 1) >= 0 and (i + 1) < length and s[i] != s[i - 1] and s[i] == s[i + 1]:
vis[i] = vis[i - 1] = 1
#将边缘字符去除
tmp_s = []
for i in range(length):
if vis[i] == 0:
tmp_s.append(s[i])
s = tmp_s
last_length = length6.重新排序（差分数组，贪心）
初步想法：将重新查询的区间进行记录，看是否有交集，将交集区间替换为最大值
差分数组
正解：读取区间，标记区间访问次数（通过差分数组实现），然后根据贪心思想，将大的值放到访问次数最多的位置。
标程：
import sys #设置递归深度
import collections #队列
import itertools # 排列组合
import heapq #小顶堆
import math
sys.setrecursionlimit(300000)
import functools # 自定义比较函数 -1不变，1交换
# 总体思路：查询最多的那一个放最大值，不需要序号，只需要记录最大次数
n = int(input())
a = list(map(int,input().split()))
a=[0]+a
b=[0]*(n+10)
s=[0]*(n+1)
m=int(input())
for i in range(m):
# 差分数组实现区间加法更新
l,r = map(int,input().split())
b[l]+=1
b[r+1]-=1
#对差分数组前缀和，得到每个数字的查询次数
for i in range(1,n+1):
s[i]=s[i-1]+b[i]
# sum1为原始和，sum2为贪心后的最大值
sum1,sum2=0,0
for i in range(1,n+1):
sum1+=a[i]*s[i]
# 贪心思想，大对大，小对小
a.sort()
s.sort()
# 计算重新排序后的
for i in range(1,n+1):
sum2+=a[i]*s[i]
print(sum2-sum1)
7.《全排列的价值》真题练习（数学定理，思维）
初步想法：找规律？没得规律就把全排列列出来，循环暴力，能拿多少分那多少分。
找规律，蒙对20%数据
import sys #设置递归深度
import collections #队列
import itertools # 排列组合
import heapq #小顶堆
import math
sys.setrecursionlimit(300000)
import functools # 自定义比较函数 -1不变，1交换
#4 0+1*3+2*3+3*3+4*3+5*3+6
#3 0+1+1+2+2+3
#2 0+1
ans=0
n = int(input())
for i in range(1,n*(n-1)//2):
ans+=(n-1)*i%998244353
print((ans+n*(n-1)//2)%998244353)
正解：顺序数和逆序数总和为 n*(n-1)//2 ，顺序数和逆序数想等，n个数公有n！个全排列，即顺序和逆序之和为n!*n*(n-1)//2，所以价值之和为上式除以2。
标程：
mod = 998244353
n = int(input())
ans = n * (n - 1) // 2 % mod
for i in range(3, n + 1):
ans = ans * i % mod
print(ans)8. 《最长不下降子序列》真题练习（DP）
初步想法：通过DP算法，即最长递增子序列模板来做，记录最长子序列的下标，通过DP数组来找遍历，从后往前，看是否有元素小于最长子序列同时区间大于K的，有的话直接+k？
应该有问题，这种思路有问题！！不能过全部数据，考虑不全。
正解：思路类似，通过DP最长递增模板，但是需要用线段树模板维护，这题不要全分，跳了。
9.《最优清零方案》真题练习（暴力，线段树）
初步想法：先选择操作2，在操作1，暴力循环就可以了
正解：思路相同，但是我的想法不能过全部数据，需要用线段树来处理，线段树没学。
maxn = 1000000 + 10
tree_mi = [0] * (maxn * 4)
tree_add = [0] * (maxn * 4)
n, k = list(map(int, input().split()))
a = list(map(int, input().split()))
a = [0, *a]
#线段树模板
#利用左右儿子信息更新节点o
def push_up(o):
tree_mi[o] = min(tree_mi[o << 1], tree_mi[o << 1 | 1])
#利用节点o的lazy标记add更新左右儿子
def push_down(o):
if tree_add[o] != 0:
tree_add[o << 1] += tree_add[o]
tree_mi[o << 1] += tree_add[o]
tree_add[o << 1 | 1] += tree_add[o]
tree_mi[o << 1 | 1] += tree_add[o]
tree_add[o] = 0
#建树
def build(o, l, r):
tree_add[o] = 0
if l == r:
tree_mi[o] = a[l]
return
mid = (l + r) >> 1
build(o << 1, l, mid)
build(o << 1 | 1, mid + 1, r)
push_up(o)
#查询区间[L,R]的最小值
def query(o, l, r, L, R):
if L <= l and r <= R:
return tree_mi[o]
push_down(o);
mid = (l + r) >> 1
ans = 1000000000;
if L <= mid:
ans = min(ans, query(o << 1, l, mid, L, R))
if R > mid:
ans = min(ans, query(o << 1 | 1, mid + 1, r, L, R))
return ans
#区间更新[L,R]统一加上val
def update(o, l, r, L, R, val):
if L <= l and r <= R:
tree_mi[o] += val
tree_add[o] += val
return
push_down(o);
mid = (l + r) >> 1
if L <= mid:
update(o << 1, l, mid, L, R, val)
if R > mid:
update(o << 1 | 1, mid + 1, r, L, R, val)
push_up(o);
build(1, 1, n)
ans = 0
for i in range(1, n - k + 2):
#查询区间[i, i+k-1]的最小值
mi = query(1, 1, n, i, i + k - 1)
if mi == 0: #无法进行区间消除
#res表示当前的a[i]
res = query(1, 1, n, i, i)
#把当前的a[i]置为0
update(1, 1, n, i, i, -res)
ans += res
else:
ans += mi
#区间消除
update(1, 1, n, i, i + k - 1, -mi)
#res表示当前的a[i]
res = query(1, 1, n, i, i)
#把当前的a[i]置为0
update(1, 1, n, i, i, -res)
ans += res
for i in range(n - k + 2, n + 1):
ans += query(1, 1, n, i, i)
print(ans)10.《数的拆分》真题练习
初步想法：大数分解应该能做，看是否能分解为两个质数或者一个质数，能就输出yes，不能就输出no
import os
import sys
import math
# 请在此输入您的代码
t= int(input())
def check(n):
count=[] # 记录有多少个素数
cur=0 # 指向列表，方便记录幂次
for i in range(2,int(math.sqrt(n))+1):
if n%i==0:
count.append(0)
if len(count)>2:
print("no")
return
while n%i==0:
n=n//i
count[cur]+=1
cur+=1 #记录下一个质数幂次
if n>1:
count.append(1)
if len(count)>2:
print("no")
return
#print(count)
if len(count)==1 and count[0]>=2:
print('yes')
return
if len(count)==2 and count[0]>=2 and count[1]>=2:
print('yes')
return
print('no')
for i in range(t):
a=int(input())
check(a)
正解：题目意思好像弄错了，本题求的是只要分解的质数的幂次大于2就行。（标准做法要用到埃氏筛得到4000内的所有素数，对每一个数遍历，首先判断平方和立方，然后再枚举4000以内的素数因子，如果有幂次等于1的，直接跳出循环打印no）
import os
import sys
import math
# 请在此输入您的代码
t= int(input())
def check(n):
count=0 # 记录幂次
for i in range(2,int(math.sqrt(n))+1):
if n%i==0:
while n%i==0:
n=n//i
count+=1
if(count<2):
print('no')
return
count=0 # 复位，记数下一个质数
if n>1: # 剩下一个质数，幂次肯定为1，不满足
print("no")
return
print('yes')
for i in range(t):
a=int(input())
check(a)
标程：
import os
import sys
import math
not_prime = [0]*4010
prime = []
# 预处理400以内的素数
for i in range(2,4001):
if not_prime[i]==0:
prime.append(i)
for j in range(2*i,4001,i): #埃式筛
not_prime[j]=1
# 判断平方数
def square_number(x):
y=int(x**0.5)
return y*y==x or (y+1)*(y+1)==x #防止精度出问题
# 判断立方数
def cubic_number(x):
y=int(x**(1/3))
return y**3==x or (y+1)**3 ==x
t = int(input())
for i in range(t):
a=int(input())
# 判断平方和立方
if square_number(a) or cubic_number(a):
print('yes')
continue
# 枚举4000以内因子
falg=True
for i in prime:
if a%i==0:
mi=0
while a%i==0:
a=a//i
mi+=1
if mi==1:
falg=False
break
if falg:
print('yes')
else:
print('no')