最小费用流的最短路径算法和Ford单源最短路径算法（图解）
屈婉玲《算法设计与分析》第2版第7章网络流算法学习笔记。
概述
最小费用流的负回路算法，是先任意分配流量v0，再将流量调整到权值较小的边上，参考：
基于Floyd算法的最小费用流的负回路算法（图解）
而最小费用流的最短路径算法，则是从0流开始，往最短路径上分配流量，直到流量达到v0为止。
最小费用流的最短路径算法图例
容量-费用网络，初始分配0流：
找出残余容量网络上的最短路径：s->2->t（距离为4），分配5个单位流量，得到f1：
更新残余网络找出最短路径：s->1->2->t (距离为5)，分配1个单位流量，得到f2：
更新残余网络找出最短路径：s->1->t (距离为6)，分配2个单位流量（v0-f2=2），得到f3：
至此流量达到v0，f3即为所求。
伪代码
1. f ← 0
2. 构造N(f)
3. 调用Floyd算法计算N(f)中s-t最短路径
4. if N(f)无s-t路径 then return “无流量v0的可行流” //f是最大流，且v(f)
5. 在N(f)的s-t增广路径中找出最短路径
6. 为最短路径尽可能分配流量，且不超过v0，f ← f1
7. if v(f)<v0 then goto 2
8. return f
Ford算法
上面算法中找最短路径时，使用L.R.Ford 提出的 Ford 算法替代Floyd算法更好，因为只需求单源最短路径。Ford算法可以求无负回路的赋权有向图中单源最短路径（和Dijkstra条件和功能一样）。
设赋权有向图D=
使用动态规划法，记d(k)(i)为D中v1到vi边数不超过k的最短路径的权（2<=i<=n, k>=1)，可得递推公式：
d(0)(1) = 0; d(0)(i) = +∞, 2<=i<=n
d(k)(i) = min{d(k-1)(i), d(k-1)(j) + w(j, i)} | <vj, vi>∈E }, 1<=i<=n, k>=1
因为图中无负回路，所以最短路径包含边数<=n-1，所以d(n-1)(i)即为所求。
为了保存详细路径信息，用h(k)(i)保存i的下一跳，递推公式为：
h(0)(1) = 1; h(0)(i) = 0, 2<=i<=n
h(k)(i) = h(k-1)(i), 若d(k-1)(i) <= d(k-1)(j) + w(j, i)
min{j}, 若d(k-1)(i) > d(k-1)(j) + w(j, i)
Ford单源最短路径算法图例
由d(4)和h(4)可知：
v1到v2最短路径长为1, 1->2
v1到v3最短路径长为1, 1->2->5->3
v1到v4最短路径长为1, 1->4
v1到v5最短路径长为1, 1->2->5
伪代码
//初始化，k=0
d(1)←1=0， h(1)←1
for i←2 to n do
d(i)←+∞, h(i)←0
for k←1 to n-1 do
for i←1 to n do
for <vj, vi>∈E do
if d(j)+w(j,i) < d(i) then
d(i) ← d(k-1)(j)+w(j,i)
h(i) ← j
//若n-1次循环后还能更新d(i)，说明到该点的最短路径还未找到，那么必定是存在负回路，返回FALSE
for i←1 to n do
for <vj, vi>∈E do
if d(j)+w(j,i) < d(i) then
return false
return d, h
算法对比
对比Floyd算法
Ford算法复杂度和Floyd算法一样为O(n^3)，但Ford算法只保留单源最短路径，Floyd计算并保存多源最短路径，所以比Floyd算法节省空间，效率也较高。
在找s-t最短路径时Ford算法比Floyd算法更适合。
对比Dijkstra算法
Ford算法复杂度也可表示为O(n * m)，m = |E|；相比之下，Dijkstra算法复杂度为O(n^2)；当图是稀疏图时，二者相差不大。
Dijkstra算法不能处理有负回路的图，而Ford算法能